Chủ đề này có 3 trả lời

[dkhoan]

1.Cho x,y,z$>$0,xy+yz+xz=2xyz.Tìm min P=$\frac{1}{x(2x-1)^{2}}+\frac{1}{y(2y-1)^{2}}+\frac{1}{z(2z-1)^{2}}$

2.Cho a,b,c$>$0,a+b+c=3.CM:$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

3.Cho x,y,z$>$0,x+y+z=xyz.CM:$\frac{y}{x\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{y\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{x}{z\sqrt{x^{2}+1}}\geq \frac{3}{2}$

[royal1534]

 

2.Cho a,b,c$>$0,a+b+c=3.CM:$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

 

BĐT cần chứng minh $\leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c} \geq (a+b+c)^{2}=9$

Áp dụng bđt AM-GM ta có:

$a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a} \geq 3\sqrt[3]{a^{3}}=3a$

Tương tự $b^{2}+\sqrt{b}+\sqrt{b} \geq 3b$

               $c^{2}+\sqrt{c}+\sqrt{c} \geq 3c$

Cộng 3 vế của 3 bđt trên lại ta có đpcm.Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 29-12-2015 - 17:08

[anhquannbk]

1.Cho x,y,z$>$0,xy+yz+xz=2xyz.Tìm min P=$\frac{1}{x(2x-1)^{2}}+\frac{1}{y(2y-1)^{2}}+\frac{1}{z(2z-1)^{2}}$

2.Cho a,b,c$>$0,a+b+c=3.CM:$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$

3.Cho x,y,z$>$0,x+y+z=xyz.CM:$\frac{y}{x\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{y\sqrt{z^{2}+1}}+\frac{x}{z\sqrt{x^{2}+1}}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2:

Dùng AM-GM ta có:

$ a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge 3a $

$ b^{2}+\sqrt{b}+\sqrt{b}\ge 3b $

$ c^{2}+\sqrt{c}+\sqrt{c}\ge 3c $

Cộng lại ta có: $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\ge 3(a+b+c) $

Hay $ a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\ge (a+b+c)^{2} $ vì $ a+b+c=3 $

Khai triển rút gọn ta có đpcm.

(Bài này là OLP Russia 2002)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 29-12-2015 - 17:12

[Pham Quoc Thang]

Bài 3:
Đổi biến: $(x;y;z) \rightarrow (\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}) \Rightarrow ab+bc+ca=1 $

Khi đó, ta có: $VT=\sum{\frac{a}{\sqrt{1+b^2}}}=\sum{\frac{a}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}}=\sum{\frac{a}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}} \geq \sum{\frac{2a}{a+2b+c}}$ (AM-GM)
$\geq \frac{2(a+b+c)^2}{\sum{a^2}+3\sum{ab}}$ (Cauchy Schwarz)
Ta cần chứng minh $\frac{2(a+b+c)^2}{\sum{a^2}+3\sum{ab}} \geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2\sum{a^2}+4 \geq \frac{3\sum{a^2}}{2}+\frac{9}{2} \Leftrightarrow \sum{a^2} \geq 1= \sum{ab}$ 
Suy ra đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}$