Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuong2001: 03-04-2016 - 20:58
Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuong2001: 03-04-2016 - 20:58
$\sum \frac{a}{2a^2+b^2+3} \le \frac{1}{2}.(\sum \frac{a}{ab+a+1})=\frac{1}{2}$
Bài này nên đăng ở box THCS
Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}=\frac{a}{(a^2+1)+(a^2+b^2)+2} \leq \frac{a}{2a+2ab+2}=\frac{1}{2(1+b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{2(1+b+bc)}$
Tương tự $\frac{b}{2b^2+c^2+3} \leq \frac{1}{2(1+c+ca)}$
$\frac{c}{2c^2+a^2+3} \leq \frac{1}{2(1+a+ab)}$
Cộng các bđt vừa tìm được ta có:
$VT=\sum \frac{a}{2a^2+b^2+3} \leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{1+a+ab})=\frac{1}{2}$ (Chú ý ta có đẳng thức $\sum \frac{1}{a+ab+1}=1$ với $abc=1$)
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh