Chủ đề này có 3 trả lời

[ineX]

Tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$.

$P$ là điểm nằm trong tam giác thỏa $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ và $\widehat{PAC}=\widehat{PCB}$.

Lấy $Q$ trên $BC$ sao cho $QA=QP$.

Chứng mình rằng: $$\widehat{QAP}=2\widehat{OQB}$$

[ineX]

ai có ý tưởng cho bài này không ạ?

[Hoang Nhat Tuan]

Tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$.

$P$ là điểm nằm trong tam giác thỏa $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ và $\widehat{PAC}=\widehat{PCB}$.

Lấy $Q$ trên $BC$ sao cho $QA=QP$.

Chứng mình rằng: $$\widehat{QAP}=2\widehat{OQB}$$

Đề đúng phải là chứng minh $\widehat{AQP}=2\widehat{OQB}$ chứ nhỉ.

Thực ra lời giải bài toán này khá đơn giản

Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ và $APC$ thì $Q,I,J$ thẳng hàng.

Để ý rằng điều kiện $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ dẫn đến $(I)$ tiếp xúc với $BC$, tương tự thì $(J)$ tiếp xúc $BC$.

Dễ thấy $OI,OJ$ lần lượt là trung trực của $AB,AC$.

Ta có: $\widehat{OIJ}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}-\widehat{AIJ}=\widehat{BIJ}-\widehat{OIJ}-\widehat{ABP}=2\widehat{BAP}-\widehat{OIJ}$

Do đó $\widehat{OIJ}=\widehat{BAP}=\widehat{PBC}$

Tương tự $\widehat{OJI}=\widehat{PCB}$

Vì thế nên $\Delta OIJ\sim \Delta PBC$

Mặt khác phép vị tự tâm $Q$ biến $I$ thành $J$ thì biến $B$ thành $C$ nên $\Delta OQJ\sim \Delta PQC$

Suy ra: $\widehat{PQB}=\widehat{OQI}$.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Spoiler

Từ phép chứng minh trên có thể suy ra $QO$ tiếp xúc với đường tròn $(OIJ)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 03-05-2016 - 16:40

[ineX]

Đề đúng phải là chứng minh $\widehat{AQP}=2\widehat{OQB}$ chứ nhỉ.

Thực ra lời giải bài toán này khá đơn giản

1.png

Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ và $APC$ thì $Q,I,J$ thẳng hàng.

Để ý rằng điều kiện $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ dẫn đến $(I)$ tiếp xúc với $BC$, tương tự thì $(J)$ tiếp xúc $BC$.

Dễ thấy $OI,OJ$ lần lượt là trung trực của $AB,AC$.

Ta có: $\widehat{OIJ}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}-\widehat{AIJ}=\widehat{BIJ}-\widehat{OIJ}-\widehat{ABP}=2\widehat{BAP}-\widehat{OIJ}$

Do đó $\widehat{OIJ}=\widehat{BAP}=\widehat{PBC}$

Tương tự $\widehat{OJI}=\widehat{PCB}$

Vì thế nên $\Delta OIJ\sim \Delta PBC$

Mặt khác phép vị tự tâm $Q$ biến $I$ thành $J$ thì biến $B$ thành $C$ nên $\Delta OQJ\sim \Delta PQC$

Suy ra: $\widehat{PQB}=\widehat{OQI}$.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Spoiler

Từ phép chứng minh trên có thể suy ra $QO$ tiếp xúc với đường tròn $(OIJ)$

Cảm ơn anh! Cho em hỏi còn lời giải nào có thể sử dụng đường đối trung không ạ?