Tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$.
$P$ là điểm nằm trong tam giác thỏa $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ và $\widehat{PAC}=\widehat{PCB}$.
Lấy $Q$ trên $BC$ sao cho $QA=QP$.
Chứng mình rằng: $$\widehat{QAP}=2\widehat{OQB}$$
Tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$.
$P$ là điểm nằm trong tam giác thỏa $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ và $\widehat{PAC}=\widehat{PCB}$.
Lấy $Q$ trên $BC$ sao cho $QA=QP$.
Chứng mình rằng: $$\widehat{QAP}=2\widehat{OQB}$$
Tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$.
$P$ là điểm nằm trong tam giác thỏa $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ và $\widehat{PAC}=\widehat{PCB}$.
Lấy $Q$ trên $BC$ sao cho $QA=QP$.
Chứng mình rằng: $$\widehat{QAP}=2\widehat{OQB}$$
Đề đúng phải là chứng minh $\widehat{AQP}=2\widehat{OQB}$ chứ nhỉ.
Thực ra lời giải bài toán này khá đơn giản
Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ và $APC$ thì $Q,I,J$ thẳng hàng.
Để ý rằng điều kiện $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ dẫn đến $(I)$ tiếp xúc với $BC$, tương tự thì $(J)$ tiếp xúc $BC$.
Dễ thấy $OI,OJ$ lần lượt là trung trực của $AB,AC$.
Ta có: $\widehat{OIJ}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}-\widehat{AIJ}=\widehat{BIJ}-\widehat{OIJ}-\widehat{ABP}=2\widehat{BAP}-\widehat{OIJ}$
Do đó $\widehat{OIJ}=\widehat{BAP}=\widehat{PBC}$
Tương tự $\widehat{OJI}=\widehat{PCB}$
Vì thế nên $\Delta OIJ\sim \Delta PBC$
Mặt khác phép vị tự tâm $Q$ biến $I$ thành $J$ thì biến $B$ thành $C$ nên $\Delta OQJ\sim \Delta PQC$
Suy ra: $\widehat{PQB}=\widehat{OQI}$.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 03-05-2016 - 16:40
Đề đúng phải là chứng minh $\widehat{AQP}=2\widehat{OQB}$ chứ nhỉ.
Thực ra lời giải bài toán này khá đơn giản
Gọi $I,J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APB$ và $APC$ thì $Q,I,J$ thẳng hàng.
Để ý rằng điều kiện $\widehat{PAB}=\widehat{PBC}$ dẫn đến $(I)$ tiếp xúc với $BC$, tương tự thì $(J)$ tiếp xúc $BC$.
Dễ thấy $OI,OJ$ lần lượt là trung trực của $AB,AC$.
Ta có: $\widehat{OIJ}=\frac{1}{2}\widehat{AIB}-\widehat{AIJ}=\widehat{BIJ}-\widehat{OIJ}-\widehat{ABP}=2\widehat{BAP}-\widehat{OIJ}$
Do đó $\widehat{OIJ}=\widehat{BAP}=\widehat{PBC}$
Tương tự $\widehat{OJI}=\widehat{PCB}$
Vì thế nên $\Delta OIJ\sim \Delta PBC$
Mặt khác phép vị tự tâm $Q$ biến $I$ thành $J$ thì biến $B$ thành $C$ nên $\Delta OQJ\sim \Delta PQC$
Suy ra: $\widehat{PQB}=\widehat{OQI}$.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Spoiler
Cảm ơn anh! Cho em hỏi còn lời giải nào có thể sử dụng đường đối trung không ạ?
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$u_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\forall n\in \mathbb{N}$Bắt đầu bởi ineX, 24-11-2016 lim, dãy số, inex, 2016 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
So sánh A và BBắt đầu bởi phihungtf, 13-11-2016 2016, 2017, luỹ thừa |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm số hạng tổng quát của dãyBắt đầu bởi ineX, 01-11-2016 dãy số, shtq, inex, 2016, btvn |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$m|3.2^n+n$Bắt đầu bởi IHateMath, 21-10-2016 ninh bình, 2016 |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Có bao nhiêu ánh xạ $f$ xác định trên $M$ thỏa mãn?Bắt đầu bởi ineX, 21-10-2016 tổ hợp, inex, song ánh, 2016 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh