3 replies to this topic

[Thislife]

Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số thực . CMR :

$(a+b)^{4} +(b+c)^{4} +(a+c)^{4} \geq \frac{4}{7}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Edited by Thislife, 30-05-2016 - 18:38.

[xuantungjinkaido]

Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số thực . CMR :

$(a+b)^{4} +(b+c)^{4} +(a+c)^{4} \geq \frac{4}{7}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Bất đẳng thức thi VMO 

[the unknown]

Bài toán:Cho $a,b,c$ là các số thực . CMR :

$(a+b)^{4} +(b+c)^{4} +(a+c)^{4} \geq \frac{4}{7}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Đặt $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$. Suy ra $b=\frac{x+y-z}{2},c=\frac{y+z-x}{2},a=\frac{x+z-y}{2}$ và bất đẳng thức tương đương với $(x+y-z)^4+(y+z-x)^4+(x+z-y)^4\leq 28(x^4+y^4+z^4)$.

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $(x+y-z)^4+(y+z-x)^4+(x+z-y)^4+(x+y+z)^4\leq 28(x^4+y^4+z^4)$

Chứng minh

Sử dụng hằng đẳng thức: $(a+b)^4+(a-b)^4=2(a^4+6a^2b^2+b^4)$.

Ta khai triển được ( các bạn thông cảm do mình bận nên làm tắt  )$(x+y-z)^4+(y+z-x)^4+(x+z-y)^4+(x+y+z)^4=4(x^4+y^4+z^4)+24(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq 28(x^4+y^4+z^4)$

Vậy ta có đpcm

Một kết quả khác bằng cách chứng minh tương tự như trên:

Spoiler

Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta luôn có:

                                         $(a+b)^6+(b+c)^6+(c+a)^6\geq \frac{16}{61}(a^6+b^6+c^6)$

Edited by the unknown, 30-05-2016 - 19:30.

[Thislife]

Tuyệt vời! Làm sao bạn có thể nghĩ ra cách đó?

Đặt $x=a+b$, $y=b+c$, $z=c+a$. Suy ra $b=\frac{x+y-z}{2},c=\frac{y+z-x}{2},a=\frac{x+z-y}{2}$ và bất đẳng thức tương đương với $(x+y-z)^4+(y+z-x)^4+(x+z-y)^4\leq 28(x^4+y^4+z^4)$.

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là $(x+y-z)^4+(y+z-x)^4+(x+z-y)^4+(x+y+z)^4\leq 28(x^4+y^4+z^4)$

Chứng minh

Sử dụng hằng đẳng thức: $(a+b)^4+(a-b)^4=2(a^4+6a^2b^2+b^4)$.

Ta khai triển được ( các bạn thông cảm do mình bận nên làm tắt  )$(x+y-z)^4+(y+z-x)^4+(x+z-y)^4+(x+y+z)^4=4(x^4+y^4+z^4)+24(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\leq 28(x^4+y^4+z^4)$

Vậy ta có đpcm

Một kết quả khác bằng cách chứng minh tương tự như trên:

Spoiler

Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta luôn có:

                                         $(a+b)^6+(b+c)^6+(c+a)^6\geq \frac{16}{61}(a^6+b^6+c^6)$