Chủ đề này có 5 trả lời

[Thislife]

Bài toán: Chứng minh rằng với $a,b,c$ dương , $a+b+c=3$ thì ta có :

$$2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) +3 \leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 19-06-2016 - 14:52

[Nguyenhuyen_AG]

Bài toán: Chứng minh rằng với $a,b,c$ dương , $a+b+c=3$ thì ta có :

$$2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2) +3 \leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$$

 

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}$ bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{1}{27}\left [ 8(a+b)^2-34c^2+28c(a+b) \right ](a-b)^2+\frac{2}{27}(7a^2+7b^2+4c^2-13ab+11ca+11bc)(a-c)(b-c) \geqslant 0.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

[superpower]

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}$ bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{1}{27}\left [ 8(a+b)^2-34c^2+28c(a+b) \right ](a-b)^2+\frac{2}{27}(7a^2+7b^2+4c^2-13ab+11ca+11bc)(a-c)(b-c) \geqslant 0.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Anh Huyện có thể giải thích sao anh phân tích được theo kiểu Schur - SOS như vậy được ạ

Em khá tù trong phân tích ra S-S khi không có các dạng tiêu chuẩn

[Thislife]

Có một cách khác rất hay, mà em cũng không hiểu rõ tại sao lại làm được như vậy, đó là đặt:

$x=\frac{a+b}{2} $ và   $y=\frac{a-b}{2}$

Giả sử $c = \min\{a,b,c\}$ bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{1}{27}\left [ 8(a+b)^2-34c^2+28c(a+b) \right ](a-b)^2+\frac{2}{27}(7a^2+7b^2+4c^2-13ab+11ca+11bc)(a-c)(b-c) \geqslant 0.\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

 

+Có 1 bài viết nói về SS ở đây

+Có phải cái này là do anh viết  không vậy?: 

File gửi kèm

•  Phuong phap S-S va bat dang thuc dang Schur.pdf   156.99K   98 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 19-06-2016 - 15:12

[Nguyenhuyen_AG]

Anh Huyện có thể giải thích sao anh phân tích được theo kiểu Schur - SOS như vậy được ạ

Em khá tù trong phân tích ra S-S khi không có các dạng tiêu chuẩn

 

Cái này cũng khá dễ, em chỉ cần chú ý tí là nhận ra ngay.

 

Bài này là một bất đẳng thức bậc bốn, mà bất đẳng thức bậc 4 tổng quát (có dấu bằng tại tâm) có dạng

\[A \sum a^4 +B \sum a^3b + C \sum ab^3 + D \sum b^2c^2-(A+B+C+D)abc(a+b+c) \geqslant 0, \quad (1)\]

hay là

\[A\left[\sum a^4-abc(a+b+c)\right] +B\left [ \sum a^3b -abc(a+b+c) \right ] + C\left [ \sum ab^3-abc(a+b+c)  \right ] + D \left [\sum b^2c^2 -abc(a+b+c) \right ] \geqslant 0.\]

Đến đây chỉ cần phân tích S-S cho các đại lượng trọng ngoặc (mấy cái này thì khá dễ) rồi nhóm lại theo dạng $$M(a-b)^2+N(a-c)(b-c) \geqslant 0,$$ là xong. Tương tự cho bậc 3, bậc 5, bậc 6, ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 19-06-2016 - 15:34

[Nguyenhuyen_AG]

Có một cách khác rất hay, mà em cũng không hiểu rõ tại sao lại làm được như vậy, đó là đặt:

$x=\frac{a+b}{2} $ và   $y=\frac{a-b}{2}$

 

+Có 1 bài viết nói về SS ở đây

+Có phải cái này là do anh viết  không vậy?: 

 

Thành viên 10maths_tp0609 là tác giả của phương pháp Schur - SOS này đó em, còn file đính kèm là của anh viết.