Chủ đề này có 4 trả lời

[Thislife]

Bài toán: Giả sử $a,b,c,d,e \geq 0$ và $a+b+c+d+e=5$ .Chứng minh rằng:

$$abc+bcd+cde+dea+eab \leq 5 $$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 19-06-2016 - 14:53

[Baoriven]

Không mất tính tổng quát, giả sử: e=min{a,b,c,d,e} viết lại biểu thức P dưới dạng như sau:

$P=bc(a+d-e)+e(a+c)(b+d)$.

Sử dụng AM-GM ta được:

$bc(a+d-e)\leq (\frac{1-2e}{3})^3$

$e(a+c)(b+d)\leq e(\frac{1-e}{2})^2$

Suy ra: $P\leq (\frac{1-2e}{3})^3+e(\frac{1-e}{2})^2.$

Xét hàm số $f(e)= (\frac{1-2e}{3})^3+e(\frac{1-e}{2})^2,e\epsilon (0;\frac{1}{5}]$

$f'(e)=\frac{1}{36}(1-5e)(e+1)\geq 0,\forall e\epsilon (0;\frac{1}{5}]$

Nên f(e) đồng biến trên $(0;\frac{1}{5}]$.

Do đó: $P\leq f(e)\leq f(\frac{1}{5})=\frac{1}{25}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=e=\frac{1}{5}$

[Thislife]

Không mất tính tổng quát, giả sử: e=min{a,b,c,d,e} viết lại biểu thức P dưới dạng như sau:

$P=bc(a+d-e)+e(a+c)(b+d)$.

Sử dụng AM-GM ta được:

$bc(a+d-e)\leq (\frac{1-2e}{3})^3$

$e(a+c)(b+d)\leq e(\frac{1-e}{2})^2$

Suy ra: $P\leq (\frac{1-2e}{3})^3+e(\frac{1-e}{2})^2.$

Xét hàm số $f(e)= (\frac{1-2e}{3})^3+e(\frac{1-e}{2})^2,e\epsilon (0;\frac{1}{5}]$

$f'(e)=\frac{1}{36}(1-5e)(e+1)\geq 0,\forall e\epsilon (0;\frac{1}{5}]$

Nên f(e) đồng biến trên $(0;\frac{1}{5}]$.

Do đó: $P\leq f(e)\leq f(\frac{1}{5})=\frac{1}{25}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=e=\frac{1}{5}$

=_=, đề yêu cầu chứng minh $\leq 5$ mà bạn chứng minh $\leq \frac{1}{25} $

[Baoriven]

Mình giải với $a+b+c+d+e=1$. Bạn cứ nhân 5 lên là xong cả mà

[Thislife]

Bài toán: Giả sử $a,b,c,d,e \geq 0$ và $a+b+c+d+e=5$ .Chứng minh rằng:

$$abc+bcd+cde+dea+eab \leq 5 $$

Vậy câu hỏi đặt ra là : Với các giá trị nào của x thỏa mãn : $a^x +b^x+c^x +d^x +e^x =5$  thì bất đẳng thức trên luôn đúng?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thislife: 19-06-2016 - 09:29