Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$
Lời giải
Ta có biến đổi sau:
$(\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6})^2-4(xy+yz+zx)=\frac{4(2y-z)^2}{9}+\frac{(z-3x)^2}{4}\geq 0\Rightarrow P\geq 2$
MinP=2 đạt được tại $z=2y=3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1$
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
Lời giải
Ta có biến đổi sau:
$(\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6})^2-4(xy+yz+zx)=\frac{4(2y-z)^2}{9}+\frac{(z-3x)^2}{4}\geq 0\Rightarrow P\geq 2$
MinP=2 đạt được tại $z=2y=3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1$
Tổng quát của bài toán này là:
Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng:
$a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)\ge 2(*)$.
Bài toán trên là trường hợp cụ thể cho $a=\frac{1}{3};b=\frac{1}{2};c=1$.
Chứng minh bài toán tổng quát như sau:
Đặt $(A;X;P;Q)\rightarrow (\sum a^2;\sum x^2;\sum ab;\sum xy)$.
Khi đó: $(*)\iff \sum a(y+z)+\sum ax\ge \sum ax+2\iff (\sum a)(\sum x)\ge \sum ax+2(**)$.
Với $P=Q=1$.
Lúc này: $(**)\iff [(\sum a)(\sum x)]^2\ge (2+\sum ax)^2$
$\iff (A+2)(X+2)\ge (2+\sum ax)^2$.
Áp dụng BDT $Cauchy-Schwarz$ ta có;
$(A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2$.
Mà $\sqrt{AX}\ge \sum ax$
$\implies (A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2\ge (2+\sum ax)^2\implies Q.E.D$.
Dấu $=$ xảy ra tại $x=a;y=b;z=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 08-07-2016 - 09:48
Tổng quát của bài toán này là:
Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng:
$a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)\ge 2(*)$.
Bài toán trên là trường hợp cụ thể cho $a=\frac{1}{3};b=\frac{1}{2};c=1$.
Chứng minh bài toán tổng quát như sau:
Đặt $(A;X;P;Q)\rightarrow (\sum a^2;\sum x^2;\sum ab;\sum xy)$.
Khi đó: $(*)\iff \sum a(y+z)+\sum ax\ge \sum ax+2\iff (\sum a)(\sum x)\ge \sum ax+2(**)$.
Với $P=Q=1$.
Lúc này: $(**)\iff [(\sum a)(\sum x)]^2\ge (2+\sum ax)^2$
$\iff (A+2)(X+2)\ge (2+\sum ax)^2$.
Áp dụng BDT $Cauchy-Schwarz$ ta có;
$(A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2$.
Mà $\sqrt{AX}\ge \sum ax$
$\implies (A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2\ge (2+\sum ax)^2\implies Q.E.D$.
Dấu $=$ xảy ra tại $x=a;y=b;z=c$
Nó vẫn chưa là tổng quát bạn ạ
Tổng quá thì ta có thể dùng pp nhân tử langrage để tìm điểm dừng
Lời giải hay thì like nhé
FB: https://www.facebook...oylanh.lung.564
Lời giải
Ta có biến đổi sau:
$(\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6})^2-4(xy+yz+zx)=\frac{4(2y-z)^2}{9}+\frac{(z-3x)^2}{4}\geq 0\Rightarrow P\geq 2$
MinP=2 đạt được tại $z=2y=3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 09-07-2016 - 01:51
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
Chứng minh rằng: $64(\sum a)^4\ge 243(\prod{(a+b)^2})$Bắt đầu bởi tritanngo99, 22-03-2017 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}$Bắt đầu bởi TanSan26, 28-10-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Cmr: $\prod (a+b)\ge \prod (c+ab)$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 01-06-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2} \leq \frac{3}{4}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 21-05-2016 bdt_03 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x^2}{x^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$Bắt đầu bởi ngothithuynhan100620, 18-05-2016 bdt_03 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh