Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyentinh]

1/ Cho $a, b, c$ là các số không âm thỏa mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}} \geq \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$.

2/ Cho $a, b, c$ không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \leq  4$.

[Nguyenhuyen_AG]

1/ Cho $a, b, c$ là các số không âm thỏa mãn $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}} \geq \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$.

2/ Cho $a, b, c$ không âm có tổng bằng 3. Chứng minh rằng $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \leq  4$.

 

1. Đặt

\[F = \frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}} - \frac{10}{\left ( a+b+c \right )^{2}},\]

ta có

\[5F = \frac{\displaystyle \sum \left [6abc(6a+5b)+2a(a+10b+7c)(c-a)^2+(3b^2+c^2)(a+b-c)^2  \right ](a-b)^2+140a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a+b+c)^2}.\]

2. Đặt

\[P = 4(a+b+c)^3 - 27(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc).\]

ta có

\[(a+b+c)P = 3\sum bc(a+b-2c)^2 + \frac{1}{6} \sum (4b+c-2a)^2(a+b-2c)^2 \geqslant 0.\]