3 replies to this topic

[Nghiapnh1002]

Cho $a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2} \geq 1$

[trambau]

Cho $a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{a^2}{a+2b^2} \geq 1$

$(\sum a^3)(\sum a) \le 3(\sum a^4) \Rightarrow \sum a^3 \le \sum a^4 \sum \frac{a^2}{a+2b^2}=\sum \frac{a^4}{a^3+2a^2b^2} \ge \frac{(\sum a^2)^2}{\sum a^3 + 2\sum a^2b^2} \ge 1$

[sharker]

 

$\sum {\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} = \sum {a - \frac{{2a{b^2}}}{{a + 2{b^2}}} \ge \sum {a - \frac{{2a{b^2}}}{{3{a^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{4}{3}}}}}} } }$

 $= \sum {a - \frac{{2{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{2}{3}}}}}{3}}  \ge \sum {a - \frac{{2(ab + a + b)}}{9} = \frac{{9(a + b + c) - 2(ab + bc + ac) - 4(a + b + c)}}{9}} $

 $\ge \frac{{9.3 - \frac{2}{3}{{(a + b + c)}^2} - 4.3}}{9} = 1$

[tuaneee111]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

\[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)}}\]

Đến đây chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau đúng:

\[{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3} + 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + {c^4} \ge {a^3} + {b^3} + {c^3}\]

Theo giả thiết có:  

\[a + b + c = 3\].

Nên suy ra được:

\[{a^4} + {b^4} + {c^4} - {a^3} - {b^3} - {c^3} = \sum\limits_{cyc}^{a,b,c} {{{\left( {a - 1} \right)}^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right)}  \ge 0\]

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi 

\[a = b = c = 1\]