$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)+(a+b)(b+c)(c+a) \geq 9abc $
#1
Posted 21-06-2017 - 11:24
$(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)+(a+b)(b+c)(c+a) \geq 9abc $
#2
Posted 21-06-2017 - 11:34
Bài toán trên có trong tài liệu phương pháp $S-S$ của anh Huyện.mình xin trình bày lại.
Không mất tính tổng quát ta giả sử $c=max(a,b,c)$.
Bất đẳng thức viết lai:
$\prod (a+b) -8abc \geq abc-\prod (a+b-c)$
$\Leftrightarrow 2c(a-b)^2+(a+b)(a-c)(b-c) \geq (a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c)$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(3c-a-b)+(a+b-c)(a-c)(b-c)\geq 0$
(đúng theo định nghĩa của $c$ và giả thiết)
- Nghiapnh1002 and Tea Coffee like this
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#3
Posted 21-06-2017 - 12:25
Bài toán trên có trong tài liệu phương pháp $S-S$ của anh Huyện.mình xin trình bày lại.
Không mất tính tổng quát ta giả sử $c=max(a,b,c)$.
Bất đẳng thức viết lai:
$\prod (a+b) -8abc \geq abc-\prod (a+b-c)$
$\Leftrightarrow 2c(a-b)^2+(a+b)(a-c)(b-c) \geq (a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c)$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(3c-a-b)+(a+b-c)(a-c)(b-c)\geq 0$
(đúng theo định nghĩa của $c$ và giả thiết)
Bài này mình thấy trong topic này (https://diendantoanh...trong-tam-giác/)
Cách của mình đây
Ta có $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=\frac{8S^2}{p}=\frac{8p^2r^2}{p}=8pr^2$
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=2p(p^2+r^2+4Rr)-4Rpr$
$8pr^2+2p(p^2+r^2+4Rr) \geq 40Rpr$
$\Leftrightarrow p^2 \geq 16rr-5r^2$(Đúng theo Gerretsen)
Edited by Nghiapnh1002, 21-06-2017 - 12:27.
- duylax2412 likes this
#4
Posted 21-06-2017 - 14:41
Bài này mình thấy trong topic này (https://diendantoanh...trong-tam-giác/)
Cách của mình đây
Ta có $(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=\frac{8S^2}{p}=\frac{8p^2r^2}{p}=8pr^2$
$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=2p(p^2+r^2+4Rr)-4Rpr$
$8pr^2+2p(p^2+r^2+4Rr) \geq 40Rpr$
$\Leftrightarrow p^2 \geq 16rr-5r^2$(Đúng theo Gerretsen)
Ý tưởng hay đấy.Bạn còn bài bất đẳng thức nào mà cũng cần "hình học hóa" giống như vậy ko?Cho mình xin.
- Nghiapnh1002 likes this
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
Also tagged with one or more of these keywords: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Started by Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Started by Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Started by Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Started by POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Started by Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users