Chủ đề này có 15 trả lời

[slenderman123]

1,TÌm $Min Q=\frac{2ab+a+b+c+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$ biết $a\leq b\leq 3\leq c, c\geq b+1, a+b\geq c$

2, Cho $abc+ bcd +cda + dab = 1$, tìm Min: $P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9d^{3}$

3, $ab+bc+ca=1$ CMR:$2abc(a+b+c)\leq$ $\frac{5}{9}+a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}$

4, $0< a,b,c \leq 1$ CMR: $\frac{a(b+c)}{bc(1+a)}+\frac{a(c+a)}{bc(1+b)}+\frac{c(a+b)}{ab(1+c)}\geq \frac{6}{1+\sqrt[3]{abc}}$

5, $a,b,c>0$ CMR: $\sqrt{1+a^{2}}+\sqrt{1+b^{2}}+\sqrt{1+c^{2}}\geq \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 08-07-2017 - 15:58

[Duy Thai2002]

Bài 5:

Bđt <=> $(\sum \sqrt{1+a^{2}})^{2}\geq (\sum \sqrt{a+b})^{2}$

Ta có bổ đề sau: $(\sum a)^{2}\geq 3(\sum ab)$. Áp dụng bổ đề trên, ta có:

$(\sum \sqrt{1+a^{2}})\geq 3(\sum \sqrt{(1+a^{2})(1+b^{2})})\geq 3(\sum (a+b))$(Cauchy-Schwarz)$\geq (\sum \sqrt{a+b})^{2}$(Cauchy-Schwarz)

=> $(\sum \sqrt{1+a^{2}})^{2}\geq (\sum \sqrt{a+b})^{2}$.Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

=> đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 09-07-2017 - 16:06

[duylax2412]

Bài 1: điều kiện phức tạp như thế thì ta dùng khai triển $Abel$.Biến đổi một chút ta có:$Q=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}$

Dự đoán đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{5}{12}$ và đạt tại $(a;b;c)=(1;2;3)$

Ta đi chứng minh $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1} \geq \frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{a-1}{2(a+1)}+\frac{b-2}{3(b+1)}+\frac{3-c}{4(c+1)} \geq 0$ $(*)$

Sử dụng khai triển $Abel$ ba số $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=(a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)(b_1+b_2)+a_3(b_1+b_2+b_3)$ ta có:

$VT_{(*)}=[\frac{1}{4(c+1)}-\frac{1}{3(b+1)}](3-c)+[\frac{1}{3(b+1)}-\frac{1}{2(a+1)}][(3-c)+(b-2)]+[(a-1)+(b-2)+(3-c)]\frac{1}{2(a+1)}$

$=\frac{(3-c)(3b-4c-1)}{12(b+1)(c+1)}+\frac{(1+b-c)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\frac{a+b-c}{2(a+1)} \geq 0$ (theo giả thiết)

 

[slenderman123]

Bài 1: điều kiện phức tạp như thế thì ta dùng khai triển $Abel$.Biến đổi một chút ta có:$Q=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}$

Dự đoán đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{5}{12}$ và đạt tại $(a;b;c)=(1;2;3)$

Ta đi chứng minh $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1} \geq \frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{a-1}{2(a+1)}+\frac{b-2}{3(b+1)}+\frac{3-c}{4(c+1)} \geq 0$ $(*)$

Sử dụng khai triển $Abel$ ba số $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=(a_1-a_2)b_1+(a_2-a_3)(b_1+b_2)+a_3(b_1+b_2+b_3)$ ta có:

$VT_{(*)}=[\frac{1}{4(c+1)}-\frac{1}{3(b+1)}](3-c)+[\frac{1}{3(b+1)}-\frac{1}{2(a+1)}][(3-c)+(b-2)]+[(a-1)+(b-2)+(3-c)]\frac{1}{2(a+1)}$

$=\frac{(3-c)(3b-4c-1)}{12(b+1)(c+1)}+\frac{(1+b-c)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\frac{a+b-c}{2(a+1)} \geq 0$ (theo giả thiết)

Phép phân tích đó gọi là $Abel$ hơ, hay thật <3

[Duy Thai2002]

Bài 3: Bài này chắc a>0,b>,c>0 phải không bạn

Ta có bổ đề sau: $\sum x^{2}\geq \sum xy$. Theo bổ đề trên, ta có:

$\sum a^{4}b^{2}+\frac{5}{9}\geq (\sum (ab)^{2}.bc)+\frac{5}{9}$

Ta cần cm: $(\sum (ab)^{2}.bc)+\frac{5}{9}\geq 2(\sum ab)$

Đặt ab=x, bc=y, ca=z (Mục đích là dễ nhìn thôi). Từ gt => x+y+z=1

Bđt cần cm <=> $\sum x^{2}y+\frac{5}{9}\geq 2(xy+yz+zx)$

Áp dụng bđt AM-GM, ta có:

$\sum x^{2}y+\frac{5}{9}=\sum x^{2}y+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\sum x^{2}y+\sum \frac{y^{2}}{9}+\frac{4}{9}\geq \sum 2\sqrt{x^{2}y.\frac{y^{2}}{9}}+\frac{4}{9}=\sum \frac{2}{3}xy+\frac{4}{9}$

Cần cm: $\sum \frac{2}{3}xy+\frac{4}{9}\geq 2(xy+yz+zx)$

<=> $\frac{4}{9}\geq \frac{4}{3}(xy+yz+zx)$

<=> $1\geq 3(xy+yz+zx)$

<=> $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$

Bđt cuối luôn đúng nên ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duy Thai2002: 09-07-2017 - 20:24

[Duy Thai2002]

Bài 2: Xem tại đây:https://diendantoanh...mina4a3b3c39d3/

[trinhhoangdung123456]

  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trinhhoangdung123456: 09-07-2017 - 21:24

[Duy Thai2002]

   Cho hai số dương x và y. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

<math display = 'block'>
  <mrow>
    <mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mn>2015</mn>
        <msup>
          <mrow>
            <mo stretchy='false'>(</mo>
            <mi>x</mi>
            <mo>&plus;</mo>
            <mi>y</mi>
            <mo stretchy='false'>)</mo>
          </mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
      </mrow>
      <mrow>
        <msup>
          <mi>x</mi>
          <mn>2</mn>
        </msup>
        <mo>&plus;</mo>
        <msup>
          <mi>y</mi>
          <mn>2</mn>
        </msup>
      </mrow>
    </mfrac>
    <mo>&plus;</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mn>2016</mn>
        <msup>
          <mrow>
            <mo stretchy='false'>(</mo>
            <mi>x</mi>
            <mo>&plus;</mo>
            <mi>y</mi>
            <mo stretchy='false'>)</mo>
          </mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
      </mrow>
      <mi mathvariant = 'italic'>xy</mi>
    </mfrac>
  </mrow
 

Bạn gõ gì vậy?  Gõ gì mà không hiểu.

[trinhhoangdung123456]

cho mình hỏi phần mềm gõ công thức toán học

[Duy Thai2002]

Latex đó bạn.

[trinhhoangdung123456]

 Cho hai số dương x và y. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     $ \frac{2015(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{^{2}}}+\frac{2016(x+y)^{2}}{xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trinhhoangdung123456: 09-07-2017 - 22:33

[slenderman123]

Bài 3: Bài này chắc a>0,b>,c>0 phải không bạn

Ta có bổ đề sau: $\sum x^{2}\geq \sum xy$. Theo bổ đề trên, ta có:

$\sum a^{4}b^{2}+\frac{5}{9}\geq (\sum (ab)^{2}.bc)+\frac{5}{9}$

Ta cần cm: $(\sum (ab)^{2}.bc)+\frac{5}{9}\geq 2(\sum ab)$

Đặt ab=x, bc=y, ca=z (Mục đích là dễ nhìn thôi). Từ gt => x+y+z=1

Bđt cần cm <=> $\sum x^{2}y+\frac{5}{9}\geq 2(xy+yz+zx)$

Áp dụng bđt AM-GM, ta có:

$\sum x^{2}y+\frac{5}{9}=\sum x^{2}y+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\sum x^{2}y+\sum \frac{y^{2}}{9}+\frac{4}{9}\geq \sum 2\sqrt{x^{2}y.\frac{y^{2}}{9}}+\frac{4}{9}=\sum \frac{2}{3}xy+\frac{4}{9}$

Cần cm: $\sum \frac{2}{3}xy+\frac{4}{9}\geq 2(xy+yz+zx)$

<=> $\frac{4}{9}\geq \frac{4}{3}(xy+yz+zx)$

<=> $1\geq 3(xy+yz+zx)$

<=> $(x+y+z)^{2}\geq 3(xy+yz+zx)$

Bđt cuối luôn đúng nên ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài đó không cho $a,b,c>0$, nhưng sao cũng được vì vế trái là chính phương

[Duy Thai2002]

Nếu không cho chính phương thì không sao cũng giải như vậy nhưng tới khúc AM-GM thì là bđt Giá trị tuyệt đối lớn hơn $\sum xy$

[Duy Thai2002]

 Cho hai số dương x và y. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

     $ \frac{2015(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{^{2}}}+\frac{2016(x+y)^{2}}{xy}$

Bài này xài điểm rơi kết hợp với AM-GM là ra.

[slenderman123]

Ừ thì đúng r đó 

Bài 4: Cho BĐT phụ sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Thật vậy $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{z\sqrt[3]{xyz}}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyz\sqrt[3]{xyz}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Đặt x=$\frac{1}{a}$;$y=\frac{1}{b}$;$z=\frac{1}{c}$ ta có BĐT tương đương: $\frac{x+y}{1+z}+\frac{y+z}{1+x}+\frac{z+x}{1+y}\geq \frac{6\sqrt[3]{xyz}}{1+\sqrt[3]{xyz}}\Leftrightarrow (x+y+z+1)(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+ \frac{1}{z+1})\geq \frac{6\sqrt[3]{xyz}}{1+\sqrt[3]{xyz}}+3=\frac{9\sqrt[3]{xyz}+3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

Thật vậy. $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}; \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}$

[trinhhoangdung123456]

Bài này yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà :

       B=  $ \frac{2015(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{^{2}}}+\frac{2016+(x+y)^{2}}{xy}$

       =...= $\ 6047+2016\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}+4030\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$

       Đặt $ \frac{x^{2}+y^{2}}{xy}=t;t\geqslant 2$

       B=$\ 6047+2016t+4030\frac{1}{t}$

         =$\ 6047+2015(\frac{t}{2}+\frac{2}{t})+\frac{2017t}{2}$

       Áp dụng bất đẳng thức $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$ và từ $\ t\geq 2$ suy ra:

       B$\ \geq 6047+2015.2+2017$

       B$\ \geq 12094$

                Dấu = xảy ra khi va chỉ khi t=2

                                                       <=>x=y

       Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 12094 <=> x=y