7 replies to this topic

[dat102]

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh:

$(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

[MoMo123]

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh:

$(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

Mình có cách này không biết có được không

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)=(a^{2}+1)(1+b^{2})+a^{2}+b^{2}+3\geq (a+b)^{2}+\frac{(a+b)^{2}}{2}+3=\frac{3}{2}[(a+b)^{2}+2)$

$-> VT \geq \frac{3}{2}((a+b)^{2}.c^{2}+4+2(a+b)^{2}+2c^{2})\geq \frac{3}{2}[4(a+b)c+2(a+b)^{2}+2c^{2})]=VP$

P/s: Đây chính là dạng biến đổi của câu bđt trong đề thi PBC năm ngoái

Edited by MoMo123, 20-08-2017 - 22:23.

[hanguyen445]

Dung Bunhia

Attached Images

• 

[hanguyen445]

Dung bien doi luon dung:

Attached Images

• 

[duylax2412]

Thêm lời giải khác nữa:

Sử dung $Cauchy-Shwarz$ thì ta có:

$3(a+b+c)^2=3(a+\sqrt{2}.\frac{b+c}{\sqrt{2}})^2 \leq 3(a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2})$

Vậy ta đi chứng minh:$3[1+\frac{(b+c)^2}{2}]\leq (b^2+2)(c^2+2) \Leftrightarrow 6+3(b+c)^2 \leq 2b^2c^2 +4(b^2+c^2)+8$

$\Leftrightarrow 2(bc-1)^2 +(b-c)^2 \geq 0$ (đúng)

Bài toán tương tự:

Chứng minh $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3) \geq  4(a+b+c+1)^2$

Chứng minh $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,b,c >0$. Chứng minh:

$(a^2 +2)(b^2+2)(c^2+2) \ge 3(a+b+c)^2$

 

Ta có

\[\text{Vế trái  -  Vế phải} = \frac{\displaystyle 3\sum (c^2+5)(ab-1)^2 + \sum (a+b-2c)^2 + 3\left(\sum ab -3\right)^2}{9}.\]

[tay du ki]

Ta có

\[\text{Vế trái  -  Vế phải} = \frac{\displaystyle 3\sum (c^2+5)(ab-1)^2 + \sum (a+b-2c)^2 + 3\left(\sum ab -3\right)^2}{9}.\]

Anh ơi cho em hỏi là anh dùng kĩ thuật gì để ra cái này ạ

[Nguyenhuyen_AG]

Anh ơi cho em hỏi là anh dùng kĩ thuật gì để ra cái này ạ

 

Anh dùng hệ số bất định.