Chủ đề này có 3 trả lời

[Superkai]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: 

$\frac{a^2b}{4-bc}+\frac{b^2c}{4-ac}+\frac{c^2a}{4-ab}\leq 1$

[Hoang Dinh Nhat]

Ta có bổ đề: Với $a,b,c\geq 0$ thỏa $a+b+c=3$ thì ta luôn có: $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$

Chứng minh: 

Không mất tính tổng quát giả sử $b$ nằm giữa $a,c$. Khi đó:

$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq a^2b+b^2c+c^2a+a(a-b)(b-c)=b(a+c)^2=4.b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$

Bổ đề được chứng minh thành công

Quay trở lại bài toán:

Bất đẳng thức $\Leftrightarrow \left ( \frac{4a^2b}{4-bc}-a^2b \right )+\left ( \frac{4b^2c}{4-ac}-b^2c \right )+\left ( \frac{4c^2a}{4-ab}-c^2a \right )\leq 4-\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )$

$\Leftrightarrow \frac{a^2b^2c}{4-bc}+\frac{b^2c^2a}{4-ac}+\frac{c^2a^2b}{4-ab}\leq 4-\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )$

Áp dụng bổ đề bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\frac{a^2b^2c}{4-bc}+\frac{b^2c^2a}{4-ac}+\frac{c^2a^2b}{4-ab}\leq abc\Leftrightarrow \frac{ab}{4-bc}+\frac{bc}{4-ca}+\frac{ca}{4-ab}\leq 1$

$\Leftrightarrow 64-32(ab+bc+ca)+8(a^2bc+b^2ca+c^2ab)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq abc(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc)$

Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$. Khi đó, ta có:

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow 16-8q+q^2-r\geq 0$

Theo BĐT $AM-GM$, ta có: $\left\{\begin{matrix}3=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} & & \\ ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}r\leq \frac{1}{27} & & \\ q\geq 3\sqrt[3]{r^2} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow q^2\geq 9r$

$\Rightarrow 16-8q+q^2-r\geq 16-8q+q^2-\frac{q^2}{9}=\frac{8}{9}(q-3)(q-6)\geq 0$

(BĐT cuối đúng do $9=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=3q\Rightarrow q\leq 3$)

Vậy BĐT được chứng minh thành công

Dấu '=' xảy ra khi: $(a;b;c)=(1;1;1)$ hoặc $(a;b;c)=(2;1;0)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 15-10-2017 - 17:52

[minhducndc]

 

Dấu '=' xảy ra khi: $(a;b;c)=(1;1;1)$ hoặc $(a;b;c)=(0;1;2)$

Cặp nghiệm $(a;b;c)= (0;1;2)$ không xảy ra dấu bằng mà bạn

[Hoang Dinh Nhat]

Cặp nghiệm $(a;b;c)= (0;1;2)$ không xảy ra dấu bằng mà bạn

đã fix nhé bạn $(a;b;c)=(2;1;0)$ ko phải $(0;1;2)$ nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 15-10-2017 - 17:52