Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.
Chứng minh rằng $(a+b+c)^{2}\geq 2(a+b+c)+ab+bc+ca$
#2
Đã gửi 16-10-2017 - 19:29
Nghiapnh1002
-
- Thành viên
-
- 108 Bài viết
Trung sĩ
Cho a,b,c>0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$.
Chứng minh rằng $(a+b+c)^{2}\geq 2(a+b+c)+ab+bc+ca$
Từ điều kiện ta có thể viết lại:
$(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2+(\frac{c}{2})^2+4\frac{a}{2}\frac{b}{2}\frac{c}{2}=1$
Do đó có thể đặt:
$\frac{a}{2}=cosA;\frac{b}{2}=cosB;\frac{c}{2}=cosC$
Ta viết lại biểu thức
$(\sum cosA)^2 \geq \sum cosA+\sum cosAcosB$
Mặt khác
$\sum cosA=\frac{R+r}{R}; \sum cosAcosB=\frac{p^2+r^2-4R^2}{4R^2}$
Bằng biến đổi tương đương ta có:
$p^2 \leq 4R^2+4Rr+3r^2$
Đây chính là bất đẳng thức Gerretsen !
Bạn có thể tham khảo thêm ở đây
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nghiapnh1002: 16-10-2017 - 19:30
- minhducndc yêu thích
#3
Đã gửi 16-10-2017 - 21:00
minhducndc
-
- Thành viên
-
- 158 Bài viết
Trung sĩ
Còn cách khác không anh
Đặng Minh Đức CTBer
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
