Tìm MIN MAX $Q=\sqrt{1+a+b}+\sqrt{1+b+c}+\sqrt{1+a+c}$
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3
#1
Đã gửi 18-01-2018 - 21:41
#2
Đã gửi 18-01-2018 - 22:17
Tìm MIN MAX $Q=\sqrt{1+a+b}+\sqrt{1+b+c}+\sqrt{1+a+c}$
$\large Q.2\sqrt{3}=2\sum\sqrt{3(a+b+1)}\leq \sum (a+b+1+3)=18 \Leftrightarrow Q\leq 3.\sqrt{3}$
- buingoctu yêu thích
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
#3
Đã gửi 18-01-2018 - 22:33
Max: Áp dụng Cauchy-Schwarz $Q\leq \sqrt{3\left ( 3+2a+2b+2c \right )}=3\sqrt{3}$
Min thì hình như điều kiện phải là $a,b,c\geq 0$
Đặt $\sqrt{1+a+b}=x,\sqrt{1+c+b}=y,\sqrt{1+a+c}=z\Rightarrow x,y,z\geq 1$
Ta có:$x^{2}+y^{2}+z^{2}=3+2a+2b+2c=9$
Vì $a+b+c=3\Rightarrow a+b\leq 3,b+c\leq 3,c+a\leq 3\Rightarrow x,y,z\leq 2$
$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)+(2-x)(2-y)(2-z)\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 3(x+y+z)-7=3Q-7\Rightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 6Q-14\Rightarrow (x+y+z)^{2}\geq 6Q-5\Rightarrow Q^{2}-6Q+5\geq 0\Rightarrow (Q-1)(Q-5)\geq 0\Rightarrow Q\geq 5$
Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow x=y=1,z=2$ hay $a=b=0,c=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HelpMeImDying: 18-01-2018 - 22:40
- Tea Coffee và nguyenthaison thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cô si, cự trị, tìm min max, min, max
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh