Đến nội dung


Hình ảnh

$p^{q-1}+q^{p-1}$

số chính phương số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 12-02-2018 - 23:50

Tìm số nguyên tố p, q sao cho $p^{q-1}+q^{p-1}$ là một số chính phương 

~SIMON MARAIS MATHEMATICS COMPETITION 2017~ 


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 13-02-2018 - 09:07

Mình làm thế này không biết có đúng không:

+) Xét $\left\{\begin{matrix}p=2m+1 \\ q=2n+1 \end{matrix}\right. (m,n\epsilon N*)$

Đặt $p^{q-1}+q^{p-1}=a^{2}(a\epsilon N)$

$=>(2m+1)^{2n}+(2n+1)^{2m}=a^{2}(**)$

$=>(2m+1)^{2n}=\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]$

Goi $d=(a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}) =>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix}2a\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right.$

Do $(2m+1)^{2n}$ lẻ nen $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ le.

=> $(2,d)=1=>a\vdots d=>(2n+1)^{m}\vdots d=>\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]\vdots d^{2}=>(2m+1)^{2n}\vdots d^{2}=>(2m+1)^{n}\vdots d$

$=>\left\{\begin{matrix}(2m+1)^{n}\vdots d \\ (2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}q^{m}\vdots d \\ p^{n}\vdots d \end{matrix}\right. =>d=1 (1)$

=> $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ la SCP $(2)$

Do $2m+1$ la SNT nen $U((2m+1)^{2n})\epsilon \left. 1,2m+1,(2m+1)^{2},...(2m+1)^{2n} \right \}$

Kết hợp với (1) và (2) $=>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}=1(*) \\ a+(2n+1)^{m}=(2m+1)^{2n} \end{matrix}\right.$

$(*)=>a-q^{m}=1$

Tương tự $a-p^{n}=1=>q^{m}=p^{n}=>q^{2m}=p^{2n}$ thay vao (**)

$=>2q^{2m}$ la SCP (vo ly)

+) Xét chỉ tồn tại một số chẵn trong p,q. Không mất tính tổng quát giả sử $q=2$

=> $p+2^{p-1}=a^{2}=>p+2^{2m}=a^{2}=>p=(a-2^{m})(a+2^{m})=>\left\{\begin{matrix}a-2^{m}=1 \\ a+2^{m}=p \end{matrix}\right. =>2.2^{m}+1=p=>2.2^{m}+1=2m+1(=p)=> m=2^{m}$ (cái này vô nghiệm VT<VP)

CM: +) Với $m=1$ $=>1<2$ (t/m)

+) Giả sử mệnh đề đúng với $m=k\epsilon N^{*}$ $=>k< 2^{k}$

 

+) Xét $p=q=2$ (t/m)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 14-02-2018 - 08:32

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-03-2018 - 12:30

Mình làm thế này không biết có đúng không:
+) Xét $\left\{\begin{matrix}p=2m+1 \\ q=2n+1 \end{matrix}\right. (m,n\epsilon N*)$
Đặt $p^{q-1}+q^{p-1}=a^{2}(a\epsilon N)$
$=>(2m+1)^{2n}+(2n+1)^{2m}=a^{2}(**)$
$=>(2m+1)^{2n}=\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]$
Goi $d=(a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}) =>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. =>\left\{\begin{matrix}2a\vdots d \\ a+(2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right.$
Do $(2m+1)^{2n}$ lẻ nen $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ le.
=> $(2,d)=1=>a\vdots d=>(2n+1)^{m}\vdots d=>\left [ a-(2n+1)^{m} \right ]\left [ a+(2n+1)^{m} \right ]\vdots d^{2}=>(2m+1)^{2n}\vdots d^{2}=>(2m+1)^{n}\vdots d$
$=>\left\{\begin{matrix}(2m+1)^{n}\vdots d \\ (2n+1)^{m}\vdots d \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}q^{m}\vdots d \\ p^{n}\vdots d \end{matrix}\right. =>d=1 (1)$
=> $a-(2n+1)^{m},a+(2n+1)^{m}$ la SCP $(2)$
Do $2m+1$ la SNT nen $U((2m+1)^{2n})\epsilon \left. 1,2m+1,(2m+1)^{2},...(2m+1)^{2n} \right \}$
Kết hợp với (1) và (2) $=>\left\{\begin{matrix}a-(2n+1)^{m}=1(*) \\ a+(2n+1)^{m}=(2m+1)^{2n} \end{matrix}\right.$
$(*)=>a-q^{m}=1$
Tương tự $a-p^{n}=1=>q^{m}=p^{n}=>q^{2m}=p^{2n}$ thay vao (**)
$=>2q^{2m}$ la SCP (vo ly)
+) Xét chỉ tồn tại một số chẵn trong p,q. Không mất tính tổng quát giả sử $q=2$
=> $p+2^{p-1}=a^{2}=>p+2^{2m}=a^{2}=>p=(a-2^{m})(a+2^{m})=>\left\{\begin{matrix}a-2^{m}=1 \\ a+2^{m}=p \end{matrix}\right. =>2.2^{m}+1=p=>2.2^{m}+1=2m+1(=p)=> m=2^{m}$ (cái này vô nghiệm VT<VP)
CM: +) Với $m=1$ $=>1<2$ (t/m)
+) Giả sử mệnh đề đúng với $m=k\epsilon N^{*}$ $=>k< 2^{k}$

+) Xét $p=q=2$ (t/m)


Mình nghĩ Cái chỗ trường hợp 1 không cần phức tạp thế
$(2m+1)^{2n}+ (2n+1)^{2m} $ chia 4 dư 2 thì không thể là số chính phương thì sẽ suy ra không thể là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 10-03-2018 - 12:33






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số chính phương, số nguyên tố

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh