1 reply to this topic

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{27}{70}\leq \sum \frac{1}{a^{2}-4a+9}\leq \frac{7}{18}$

[nmtuan2001]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{27}{70}\leq \sum \frac{1}{a^{2}-4a+9}\leq \frac{7}{18}$

Chứng minh $\sum \frac{1}{a^2-4a+9} \geq \frac{27}{70}$.

$f'(a)=(-1)(2a-4)(a^2-4a+9)^{-2}$. Khi $a=\frac{1}{3}, f'(a)=\frac{10}{3}.(\frac{9}{70})^2=\frac{27}{490}$.

Đường tiếp tuyến của $f(a)$ là $y=\frac{27a+54}{490}$.

Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{a^2-4a+9} \geq \frac{27a+54}{490}$, hay

$$(a^2-4a+9)(27a+54) \leq 490$$

$$27a^3-54a^2+27a-4 \leq 0$$

$$(3a-4)(3a-1)^2 \leq 0$$

Vì $a \leq 1$ nên $3a-4<0$. Do đó BĐT trên hiển nhiên đúng.

Vậy $\sum \frac{1}{a^2-4a+9} \geq \frac{27(a+b+c)+162}{490}=\frac{27}{70}$.