Chủ đề này có 16 trả lời

[Leuleudoraemon]

1. a,b,c>0 tm a+b+c=3. CMR  $\sum \frac{a+b+c}{a^2+abc}\geq \frac{9}{2}$
2. a,b,c>0 và a,b,c<2. CMR   $\sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{3}{2}$
3. a,b,c>0 tm a+b+c=3. CMR  $\sum \frac{a}{b^3+16}\geq \frac{1}{6}$
4. a,b,c không nhỏ hơn 1. CMR  $a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq 9$
5. $a^n+b^n+c^n=k$ và $n,k\epsilon \mathbb{N^*}$. Tìm Min của $S=\frac{a^n}{1+nb^{n+1}}+\frac{b^n}{1+nc^{n+1}}+\frac{c^n}{1+na^{n+1}}$

[nmtuan2001]

 

2. a,b,c>0 và a,b,c<2. CMR   $\sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{3}{2}$

4. a,b,c không nhỏ hơn 1. CMR  $a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)+2(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2})\geq 9$

2. Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$, hay

$$(a-2)(a^2+1)+2 \geq 0$$

$$a^3-2a^2+a \geq 0$$

$$a(a-1)^2 \geq 0$$

Suy ra $\sum \frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{3}{2}$. (đpcm)

 

4. Ta có $\sum \frac{1}{1+a^2}=\sum (1-\frac{a^2}{1+a^2}) \geq \sum (1-\frac{a^2}{2a})=3-\frac{a+b+c}{2}$.

Cần chứng minh $2(ab+bc+ca) \geq 3+a+b+c$.

Mà $a,b,c \geq 1$ nên $ab \geq a, bc \geq b, ca \geq c$ và $ab+bc+ca \geq 3$.

Do đó ta có đpcm.

[Leuleudoraemon]

nhung bai con lai co ai lm ko ah

mk nghĩ baif5 kha quen thuoc chi co là no ở dang TQ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 04-03-2018 - 22:52

[VuongKaKa]

Bài 1:

 BĐT

 $\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}+abc} +\frac{1}{b^{2}+abc} + \frac{1}{c^{2}+abc} \geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VuongKaKa: 05-03-2018 - 18:43

[VuongKaKa]

Bài 3 dấu "=" xảy ra khi nào vậy

[Leuleudoraemon]

Bài 3 dấu "=" xảy ra khi nào vậy

bạn lm dc chua

p/s mk làm dc thi da ko hoi

[Tea Coffee]

 $\Leftrightarrow 9- 2(ab+bc+ca) +3abc \leq 6 \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq 3abc+3 \Leftarrow ab+bc+ca \geq 3abc \Leftarrow 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}} \geq 3abc \Leftarrow 1\geq abc ( a+b+c=3)$

=> đpcm

Bài làm của bạn cần chứng minh $ab+bc+ac\geq 3$ nữa phải không? Nhưng điều này là không thể

[VuongKaKa]

Làm lại Bài 1:

 Bất đẳng thức tương đương

  $\frac{1}{a^{2}+abc} + \frac{1}{b^{2}+abc} +\frac{1}{c^{2}+abc} \geqslant \frac{3}{2}$

ta có:

   $\frac{1}{a^{2}+abc} + \frac{1}{b^{2}+abc} +\frac{1}{c^{2}+abc} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(a^{2}+abc)(b^{2}+abc)(c^{2}+abc)}}$

ta cần chứng minh

  $(a^{2}+abc)(b^{2}+abc)(c^{2}+abc) \leq 8 \Leftarrow (a+bc)(b+ac)(c+ab)\leq 8$

mà $(a+bc)(b+ac)(c+ab)\leq (\frac{a+b+c+ab+bc+ca}{3})^{3}\leq 2^{3}= 8$

(vì $ab+bc+ca\leq 3$)

  đpcm

[Leuleudoraemon]

 

  $(a^{2}+abc)(b^{2}+abc)(c^{2}+abc) \leq 8 \Leftarrow (a+bc)(b+ac)(c+ab)\leq 8$

 

chỗ này bạn chắc bạn phải CM $abc\geq 1$

vậy bn cm thế nào vậy?

uk nhi mk quên là có a+b+c=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 05-03-2018 - 22:08

[VuongKaKa]

chỗ này bạn chắc bạn phải CM $abc\geq 1$

vậy bn cm thế nào vậy?

chứng minh abc <= 1 

  ta có $3= a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow \sqrt[3]{abc} \leq 1 \Rightarrow abc\leq 1$

[VuongKaKa]

chỗ này bạn chắc bạn phải CM $abc\geq 1$

vậy bn cm thế nào vậy?

hình như bạn nhầm dấu rồi

 a>=b    c>=d thì   ac>=bd mà

[VuongKaKa]

bạn lm dc chua

p/s mk làm dc thi da ko hoi

bài 3 hình như không có dấu bằng xảy ra

[Leuleudoraemon]

mk ko bt mk ko doc nham đâu

[Khoa Linh]

 

3.a,b,c>0 tm a+b+c=3. CMR  $\sum \frac{a}{b^3+16}\geq \frac{1}{6}$

 

Bài 3 là một trong những bài BĐT hoán vị hay của tác giả Trần Quốc Anh  sử dụng AM-GM ngược dấu ( lưu ý: a,b,c không âm  mới có dấu bằng)
Lời giải:
Ta có:

$\frac{a}{b^3+16}=\frac{1}{16}.\left ( a-\frac{ab^3}{b^3+2^3+2^3} \right )\geq \frac{1}{16}.\left ( a-\frac{ab^2}{12} \right )$

Hoàn toàn tương tự rội cộng vào ta thì BĐT trở thành 

$\frac{1}{16}\left ( 3-\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{12} \right )\geq \frac{1}{6}\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$

Ta đi chứng minh BĐT mạnh hơn đó là:

$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$

Thật vậy: Do tính hoán vị ta giả sử b nằm giữa a và c ta có: 

$a(b-c)(b-a)\leq 0\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc=b(a+c)^2+a(b-a)(b-c)\leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b(a+c)(a+c)\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2(a+b+c)}{3} \right )^3=4$

Vậy BĐT được chứng minh, dấu bằng (a,b,c)=(0,1,2) và các hoán vị 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 05-03-2018 - 22:41

[VuongKaKa]

Bài 3 là một trong những bài BĐT hoán vị hay của tác giả Trần Quốc Anh  sử dụng AM-GM ngược dấu ( lưu ý: a,b,c không âm  mới có dấu bằng)
Lời giải:
Ta có:

$\frac{a}{b^3+16}=\frac{1}{16}.\left ( a-\frac{ab^3}{b^3+2^3+2^3} \right )\geq \frac{1}{16}.\left ( a-\frac{ab^2}{12} \right )$

Hoàn toàn tương tự rội cộng vào ta thì BĐT trở thành 

$\frac{1}{6}\left ( 3-\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{12} \right )\geq \frac{1}{6}\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$

Ta đi chứng minh BĐT mạnh hơn đó là:

$ab^2+bc^2+ca^2+abc\leq 4$

Thật vậy: Do tính hoán vị ta giả sử b nằm giữa a và c ta có: 

$a(b-c)(b-a)\leq 0\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc=b(a+c)^2+a(b-a)(b-c)\leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}.2b(a+c)(a+c)\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2(a+b+c)}{3} \right )^3=4$

Vậy BĐT được chứng minh, dấu bằng (a,b,c)=(0,1,2) và các hoán vị 

hình như a,b,c > 0 mà

[Khoa Linh]

Bạn đọc kĩ cái chỗ lưu ý dấu bằng của mình 

[Leuleudoraemon]

 

$\frac{a}{b^3+16}=\frac{1}{16}.\left ( a-\frac{ab^3}{b^3+2^3+2^3} \right )\geq \frac{1}{16}.\left ( a-\frac{ab^2}{12} \right )$

 

$\frac{1}{6}\left ( 3-\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{12} \right )\geq \frac{1}{6}\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\leq 4$

sao tren là 1/16 còn duoi lai là 1/6 v bn