Chủ đề này có 7 trả lời

[minhducndc]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$

[DOTOANNANG]

[attachment=33636:CodeCogsEqn (1).gif]

[hoangkimca2k2]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ Khi đó ta có: $VT=\sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}$. Đến đây có dạng $f(a),f(b),f(c)$ và dự đoán điểm rơi tại $a=b=c$. Nên ta áp dụng $UTC$ $(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 28-03-2018 - 16:30

[minhducndc]

Chuẩn hóa $a+b+c=3$ Khi đó ta có: $VT=\sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}$. Đến đây có dạng $f(a),f(b),f(c)$ và dự đoán điểm rơi tại $a=b=c$. Nên ta áp dụng $UTC$ $(Q.E.D)$

Mình cũng có thử cách trên nhưng không dược ,không biết bn lm thế nào

[hoangkimca2k2]

Mình cũng có thử cách trên nhưng không dược ,không biết bn lm thế nào

$Ok$ bạn

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có: $\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}=\frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}=\frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}$

Ta cần Cm: $\sum \frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}\geq ma+n$. Từ đó xét:  $f(x)=\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}$

Để tìm $m,n$ ta giải hệ sau: $\left\{\begin{matrix}f(1)=m+n=\frac{1}{9} & \\ f^{'}(1)=m=\frac{4}{27} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow m=\frac{4}{27};n=-\frac{1}{27}$.

Nên $\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}\geq \frac{4}{27}x-\frac{1}{27}$.(cái này CM chỉ cần biến đổi tương đương là ra thôi      )

Áp dụng vào bài toán ta có $(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 30-03-2018 - 21:54

[minhducndc]

 

$Ok$ bạn

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có: $\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}=\frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}=\frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}$

Ta cần Cm: $\sum \frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}\geq ma+n$. Từ đó xét:  $f(x)=\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}$

Để tìm $m,n$ ta giải hệ sau: $\left\{\begin{matrix}f(1)=m+n=\frac{1}{9} & \\ f^{'}(1)=m=\frac{4}{27} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow m=\frac{4}{27};n=-\frac{1}{27}$.

Nên $\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}\geq \frac{4}{27}x-\frac{1}{27}$.(cái này CM chỉ cần biến đổi tương đương là ra thôi      )

Áp dụng vào bài toán ta có $(Q.E.D)$

 

Biến đổi phần tiếp theo của bn

$\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}\leq \frac{4x-1}{27}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2x^{2}-2x+3}\leq \frac{4x-1}{9}$

$\Leftrightarrow 9x^{2}\leq 8x^{3}-10x^{2}+14x-3$

$\Leftrightarrow 8x^{3}-19x^{2}+14x-3\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^{2}.(8x-3)\geq 0$

Điều này chưa đúng ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhducndc: 31-03-2018 - 17:58

[Khoa Linh]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng

 

$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$

Bài này của thầy Võ Quốc Bá Cẩn

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:

$\frac{9a^2}{5a^2+(b+c)^2}=\frac{(a+2a)^2}{(a^2+b^2+c^2)+2(2a^2+bc)}\leq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc}$

$\Rightarrow 9\sum \frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}\leq 1+2\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}$

Bài toán quy về chứng minh:

$\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{2a^2+bc}\geq 1$

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$

BĐT trở thành:

$\sum \frac{x^2}{x^2+2yz}\geq 1$

BĐT cuối cùng theo Cauchy - Schwarz $\sum \frac{x^2}{x^2+2yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$

[hoangkimca2k2]

Biến đổi phần tiếp theo của bn

$\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}\leq \frac{4x-1}{27}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2x^{2}-2x+3}\leq \frac{4x-1}{9}$

$\Leftrightarrow 9x^{2}\leq 8x^{3}-10x^{2}+14x-3$

$\Leftrightarrow 8x^{3}-19x^{2}+14x-3\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^{2}.(8x-3)\geq 0$

Điều này chưa đúng ?

cái này dùng phương pháp hàm số cx đc mak