Chủ đề này có 1 trả lời

[Leuleudoraemon]

Cho 3 số a, b, c tm: $\sum a^2b^2\geq a^2b^2c^2$
CMR:  
       $\sum \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)c^3}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Diễn đàn lặng quá ta khuấy đảo tí nào...........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 25-03-2018 - 20:46

[PugMath]

Cho 3 số a, b, c tm: $\sum a^2b^2\geq a^2b^2c^2$
CMR:  
       $\sum \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)c^3}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

đặt $\left ( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \right )=(x;y;z)$

=>gt <=>$x^2+y^2+z^2\geqslant 1$

BĐT đã cho <=> $$\sum{\frac{z^3}{x^2+y^2}}\geqslant\frac{(\sum{x^2})^2}{\sum{z(x^2+y^2)}}\geqslant\frac{2(\sum{x^2})^2}{\sum{(\sqrt{3}(z^2+\frac{1}{3}))(x^2+y^2)}} =\frac{2(\sum{x^2})^2}{2\sqrt{3} \sum{x^2y^2}+\frac{2}{\sqrt{3}}(\sum{x^2}) }\geqslant \frac{2(\sum{x^2})^2}{\frac{2}{\sqrt{3}}(\sum{x^2})^2+\frac{2}{\sqrt{3}}(\sum{x^2})}=\frac{\sqrt{3}(\sum{x^2})^2}{(\sum{x^2})^2+\sum{x^2}}$$

ta cần c/m $\frac{\sqrt{3}(\sum{x^2})^2}{(\sum{x^2})^2+\sum{x^2}}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}<=>2(\sum{x^2})^2\geqslant(\sum{x^2})^2+\sum{x^2}<=>\sum{x^2}\geqslant 1(Q.E.D)$