Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$. Tìm GTNN của $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

[viet9a14124869]

Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$. Tìm GTNN của A = $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}$

Bằng vài phép thử ta thấy dấu bằng bài toán đạt tại a=0,b=1,c=2 và các hoán vị, khi đó min A = $\frac{5}{9}$

+) Xét nếu a=b=c thì A=1 

+) Nếu a,b,c không đồng thời bằng nhau , ta có : 

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^3+c^3-3abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}$$

Do đó ta cần chứng minh $9(a^2+b^2+c^2)>=15(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5$  ( do a+b+c=3)

Giả sử a=max{a;b;c} thì $a\geq 1$ , từ đó :

$$a^2+b^2+c^2\leq a^2+(b+c)^2=a^2+(3-a)^2=2(a-1)(a-2)+5\leq 5$$ ( đpcm) .

 

Vậy bài toán được giải quyết ,min A = $\frac{5}{9}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 02-04-2018 - 20:01

[Khoa Linh]

 

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^3+c^3}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{a^3+b^3+c^3-3abc}$$

 

Chỗ này ngược dấu rồi bạn ơi!

[viet9a14124869]

Chỗ này ngược dấu rồi bạn ơi!

Ừ ha , chết thật ẩu quá , để mình suy nghĩ lại ...