2 replies to this topic

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 3$

 

[tr2512]

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 3$

Xem tại đây

https://diendantoanh...rt4fraca4b4c43/

[Khoa Linh]

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Chứng minh rằng $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq 3$

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{a(b+1)+b(c+1)+c(a+1)}$

Đặt $a+b+c=t\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{t^2-3}{2}$

BĐT cần chứng minh tương đương:

$\frac{2(a+b+c)^2}{a(b+1)+b(c+1)+c(a+1)}=\frac{2t^2}{\frac{t^2-3}{2}+t}\geq 3$

$\Leftrightarrow (t-3)^2\geq 0$

Vậy BĐT hoàn tất