Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{1}{4a+b+c}+\frac{4(a+b+c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ac)}\leq \sum \frac{1}{b+c}$

[tr2512]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)>0$. Chứng minh rằng $\sum \frac{1}{4a+b+c}+\frac{4(a+b+c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ac)}\leq \sum \frac{1}{b+c}$

Biến đổi bất đẳng thức:

$\frac{1}{{4{\rm{a}} + b + c}} + \frac{1}{{4b + a + c}} + \frac{1}{{4c + a + b}} + \frac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3{\rm{a}}b + 3bc + 3ca}} \le \frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}\\ \Leftrightarrow \sum \left( {\frac{1}{{b + c}} - \frac{1}{{4{\rm{a}} + b + c}}} \right) \ge \frac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3{\rm{a}}b + 3bc + 3ca}}\\ \Leftrightarrow \sum \frac{a}{{\left( {4{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {b + c} \right)}} \ge \frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3{\rm{a}}b + 3bc + 3ca}}$

Sử dụng bất đẳng thức C-S:

$\sum \frac{a}{{\left( {4{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {b + c} \right)}}\ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a\left( {4{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {b + c} \right) + b\left( {4b + a + c} \right)\left( {a + c} \right) + c\left( {4c + b + a} \right)\left( {a + b} \right)}}$

Vậy ta chỉ cần chứng minh:

$\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a\left( {4{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {b + c} \right) + b\left( {4b + a + c} \right)\left( {a + c} \right) + c\left( {4c + b + a} \right)\left( {a + b} \right)}} \ge \frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3{\rm{a}}b + 3bc + 3ca}}\\ \Leftrightarrow \frac{{a + b + c}}{{5{\rm{a}}b\left( {a + b} \right) + 5bc\left( {b + c} \right) + 5ca\left( {c + a} \right) + 6{\rm{a}}bc}} \ge \frac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 3{\rm{a}}b + 3bc + 3ca}}\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {a + b + c} \right) + 3\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right) \ge 5{\rm{a}}b\left( {a + b} \right) + 5bc\left( {b + c} \right) + 5ca\left( {c + a} \right) + 6{\rm{a}}bc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{\rm{a}}bc \ge ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right)$

Bất đẳng thức cuối là Schur bậc 3.

Hoàn tất chứng minh.

Bất đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=b; c=0$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 12-04-2018 - 15:28