3 replies to this topic

[hoangkimca2k2]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$. Chứng minh rằng 

$\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})$

[Khoa Linh]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$. Chứng minh rằng 

$\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})$

Đặt $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}; c=\frac{1}{z}\Rightarrow a+b+c=1$

BĐT trở thành: 

$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

Ta có:

$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}=\sum \frac{a^4}{a^2b}\geq (a^2+b^2+c^2).\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2b+b^2c+c^2a}$(1)

Mặt khác:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+a^2b+ab^2)+(b^3+b^2c+bc^2)+(c^3+c^2a+ca^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$(2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm.

p/s: Đi ngủ thôi, mệt rồi 

[thanhdatqv2003]

tại sao lại như thế này 

 

 

Ta có:

$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}=\sum \frac{a^4}{a^2b}

 

[Khoa Linh]

tại sao lại như thế này 

À mình viết lộn một chút.

Bạn chỉnh lại chỗ AM-GM là được 

$(a^3+a^2c+ac^2)+(b^3+ab^2+b^2a)+(c^3+b^2c+c^2b)\geq 3(b^2a+c^2b+a^2c)$

Edited by Khoa Linh, 13-04-2018 - 11:21.