105. Cho $a\,,b\,\,> 0$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{2 + a + b} + \frac{a}{2\,a + b + 1} + \frac{b}{2\,b + a + 1} \,\, \leqq \frac{3}{4}$
Đẳng thức có khi: $a= b= 1$
Do vậy, ta viết lại bất đẳng thức dưới dạng:
$\frac{1}{2 + a + b} -\frac{1}{2}+ \frac{a}{2\,a + b + 1}-\frac{1}{2} + \frac{b}{2\,b + a + 1} -\frac{1}{2}\leqq \frac{3}{4}-\frac{3}{2}$
hay:
$\frac{a+b}{2 + a + b} + \frac{b+1}{2\,a + b + 1} + \frac{a+1}{2\,b + a + 1} \geqq \frac{3}{2}$
Ta có:
$\frac{a+b}{2 + a + b} + \frac{b+1}{2\,a + b + 1} + \frac{a+1}{2\,b + a + 1}=$
$=\frac{(a+b)^2}{(a+b)\,(2 + a + b)} + \frac{(b+1)^2}{(b+1)\,(2\,a + b + 1)} + \frac{(a+1)^2}{(a+1)\,(2\,b + a + 1)}\geqq$
$\geqq\frac{(a+b+a+1+b+1)^2}{(a+b)\,(2 + a + b)+(b+1)\,(2\,a + b + 1)+(a+1)\,(2\,b + a + 1)}=$
$=\frac{2\,(a+b+1)^2}{a^2+b^2+3\,ab+3\,a+3\,b+1}$
Việc đơn giản là chứng minh:
$\frac{2\,(a+b+1)^2}{a^2+b^2+3\,ab+3\,a+3\,b+1}\geqq\frac{3}{2}$
hay:
$a^2+b^2+1-ab-a-b\geqq0$
hay:
$\Delta _{a}= -3\,(b- 1)^{2}\leqq 0$
Ai cũng biết điều này đúng!