1 reply to this topic

[toihoctoan]

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và số thực m thỏa $0\leq m\leq 1$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{b+c-ma}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-mb}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-mc}}\geq 2\sqrt{m+1}$.

 

[Sin99]

$ \sum \sqrt{ \frac{a}{b+c - ma } } = \sum \frac{a}{ \sqrt{a(b+c-ma)} } \geq \sum 2\frac{a}{a+b+c-ma}   = \sum \frac{a^2}{a^2+ab+ac-ma^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2 - m(a^2+b^2+c^2)} \geq \frac{3(a+b+c)^2}{(3-m)(a+b+c)^2} = \frac{3}{3-m} $ Ta cần cm $ \frac{3}{3-m} \geq \sqrt{m+1}$. Thật vậy, 2 vế dương nên BĐT tương đương 

$ \frac{9}{(m-3)^2} \geq m+1 $. Ta có $ VT \geq \frac{9}{4} , VP \leq 2 $ Vậy có dpcm. Dấu "=" không xảy ra. 

Edited by Sin99, 16-07-2019 - 21:56.