Với $a,b,c\in R$, tìm GTLN của $3\sqrt[3]{\dfrac{c^2-3a^2}{6}}-2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Do Linh An: 22-03-2022 - 23:19
Với $a,b,c\in R$, tìm GTLN của $3\sqrt[3]{\dfrac{c^2-3a^2}{6}}-2\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Do Linh An: 22-03-2022 - 23:19
Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2\geqslant 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^2-3a^2}{2}\Rightarrow 2\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}\geqslant 2\sqrt{\frac{c^2-3a^2}{6}}$
Đặt $\sqrt[6]{\frac{3c^2-a^2}{6}}=t$ thì ta cần tìm giá trị lớn nhất của $3t^2-2t^3$
Mà $3t^2-2t^3-1=-(t-1)^2(2t+1)\leqslant 0\Rightarrow 3t^2-2t^3\leqslant 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 22-03-2022 - 22:55
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2$
ờm bạn dùng cách gì để tách như này nhỉ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Do Linh An: 22-03-2022 - 23:04
ờm bạn dùng cách gì để tách như này nhỉ ?
Hmm mình nghĩ là có thể đoán được đánh giá: $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^2-3a^2}{2}$ để xuất hiện đại lượng $\frac{c^2-3a^2}{6}$
Còn đánh giá kia thì chứng minh rất cơ bản, chỉ cần tách ghép khéo léo các đại lượng $a(b+c), a^2, (b+c)^2, ...$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Ta có: $5a^2+2b^2+c^2-2(ab+bc+ca)=5(a-\frac{b+c}{5})^2+\frac{1}{5}(3b-2c)^2\geqslant 0\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^2-3a^2}{2}\Rightarrow 2\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{3}}\geqslant 2\sqrt{\frac{c^2-3a^2}{6}}$
Đặt $\sqrt[6]{\frac{3c^2-a^2}{6}}=t$ thì ta cần tìm giá trị lớn nhất của $3t^2-2t^3$
Mà $3t^2-2t^3-1=-(t-1)^2(2t+1)\leqslant 0\Rightarrow 3t^2-2t^3\leqslant 1$
Khi đi thi, lời giải này chắc chắn bị trừ điểm. Nó chỉ đúng khi $c^{2}\geq 3a^{2}$.
Nên đánh giá cái căn đầu tiên.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh