Chứng minh rằng tồn tại i,j nguyên dương sao cho $10^{i}+10^{j}+1 \vdots 2003$
#2
Đã gửi 03-08-2022 - 09:40
Bài này bạn chứng minh $\text{ord}_{10} 2003 = 1001$ rồi làm giống bài trong đề Brazil 2009.
- DOTOANNANG và Explorer thích
#3
Đã gửi 03-08-2022 - 16:11
Bài này bạn chứng minh $\text{ord}_{10} 2003 = 1001$ rồi làm giống bài trong đề Brazil 2009.
bạn có link bài đấy ko? mik tìm r mà ko đc
#4
Đã gửi 03-08-2022 - 16:33
Việc chứng minh $\text{ord}_{2003}10 = 1001$ thì mình chỉ mới dùng Wolfram Alpha kiểm tra và có vẻ đúng.
Sau đó thì làm như sau:
Đặt $t = 1001$.
Trước tiên, ta nhận xét không tồn tại $x\in\mathbb N; x \leq t$ mà $2003\mid 10^{x} + 1$.
Thật vậy, do $2003\mid 10^{2x} - 1$, theo tính chất cấp của số nguyên ta có $1001\mid 2x\Rightarrow 1001\mid x$, vô lí.
Tiếp theo, nhận thấy các số $10; 10^2;...;10^{t-1}; 10^t$ nhận $t$ số dư khác nhau khi chia cho $2003$.
Gọi $t$ số dư này lần lượt là $r_1,r_2,...,r_t$, và dễ thấy $r_i\not\in \{0; 2002\},\forall i=\overline{1,t}$.
Nếu tồn tại $r_j$ mà $r_j = 1001$ thì $2003\mid 10^j + 10^j + 1$.
Ngược lại, nếu không tồn tại $r_j$ thoả mãn thì $r_1,r_2,...,r_t\in \{1; 2; ...; 2001\} \setminus \{1001\}$.
Phân hoạch tập này thành $1000$ tập con $\{1; 2001\}, \{2; 2000\},..., \{1000;1002\}$, theo nguyên lí Dirichlet tồn tại $r_x,r_y$ thuộc cùng một tập. Khi đó $2003\mid 10^x + 10^y + 1$.
Ta có điều phải chứng minh.
- hxthanh, DOTOANNANG, Explorer và 1 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tồn tại, chia hết, số học
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh tích $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 chia hết |
|
|||
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$(3^{n}-1)\vdots 2^{2023}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 06-02-2024 chia hết |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh