Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $z=(x-2y)(y-2x)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{z}$
Với $x,y,z>0$ thỏa mãn $z=(x-2y)(y-2x)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$F=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{x^3+y^3}{z}$
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Bạn có chắc đây là một bài toán số học không?
Bạn có chắc đây là một bài toán số học không?
Em đăng nhầm ạ Đây là bài toán bất đẳng thức ạ
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
$z=(x-2y)(x+2y)=5xy-2(x^2+y^2)\leq 5xy-4xy=xy$
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\geq xy(x+y)\geq z(x+y)$
$\Rightarrow \frac{x^3+y^3}{z}\geq x+y$
$F=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{x^3+y^3}{z}\geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{x+y}{1}$
$\geq \frac{(x+y)^2}{(x+y)^2+z(x+y)}+x+y=\frac{(x+y)}{x+y+z}+x+y$
Mà $z\leq xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 23-12-2022 - 17:46
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Bạn có chắc đề đúng không?
Với $\varepsilon > 0$ bất kỳ thì $(x,y,z)=(\varepsilon,\varepsilon,\varepsilon^2)$ thỏa đề và \[F = 2\left( {\frac{1}{{1 + \varepsilon }} + \varepsilon } \right)\]
Dễ thấy $F \ge 2$ và $F \rightarrow 2$ khi $\varepsilon \rightarrow 0^+$.
Có điều $F=2 \Leftrightarrow \varepsilon = 0$: trái với điều kiện ban đầu của $x,y,z$. Liệu có tồn tại bộ $(x,y,z)$ nào khác để $F=2$ không? Nếu không thì $F$ không có GTNN, chỉ có $\inf$.
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{x+y+z+\dfrac{3}{2}}\ge\sum\sqrt{\frac{x}{1+xz}}$ với $x,y,z>0$ và $xyz=1$Bắt đầu bởi Leonguyen, 05-06-2024 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Solved
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm Min $P=\sum \sqrt{ab(b+c+1)}$Bắt đầu bởi duycuonghihi, 03-06-2024 bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh