Chủ đề này có 5 trả lời

[Ruka]

Cho dãy số $\begin{cases} u_1=2\\u_{n+1} -u_n= \dfrac{1}{2023}(u_n^2-u_n) \end{cases}$

Đặt $v_n = \dfrac{u_1}{u_2-1} + \dfrac{u_2}{u_3-1} + ... + \dfrac{u_n}{u_{n+1}-1} $

Tính lim $v_n$ 

[Moon Loves Math]

Trước tiên, ta chứng minh dãy $(u_n)$ tăng.

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chỉ ra $u_n \geq 2 \quad \forall n\in\mathbb{N}$.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2023}(u_n-1) \geq \frac{2}{2023}(2-1)>0$

Hay $(u_n)$ là dãy tăng. 

Giả sử dãy này bị chặn trên. Theo nguyên lý Weierstrass, thì dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Gọi $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=a \quad (a \geq 2)$. Theo hệ thức truy hồi, thì: 

$a-a=\frac{1}{2023}(a^2-a)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=0 \\ a=1 & \end{array} \right .$, vô lý.

Nên điều giả sử là sai, dãy này không bị chặn trên, hay $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$

Mặt khác, ta xét biến đổi:

$\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n(u_n-1)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{u_n^2-u_n}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$

$=\frac{2023(u_{n+1}-u_n)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{2023[(u_{n+1}-1)-(u_n-1)]}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$

$=\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

Theo đó, ta có:

$v_n=\frac{u_1}{u_2-1}+\frac{u_2}{u_3-1}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}-1}$

$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_2-1}+\frac{2023}{u_2-1}-\frac{2023}{u_3-1}+\cdots+\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

Suy ra $\lim v_n=\lim\left ( \frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}\right )=\frac{2023}{u_1-1}=2023$.

[Ruka]

Trước tiên, ta chứng minh dãy $(u_n)$ tăng.

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chỉ ra $u_n \geq 2 \quad \forall n\in\mathbb{N}$.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2023}(u_n-1) \geq \frac{2}{2023}(2-1)>0$

Hay $(u_n)$ là dãy tăng. 

Giả sử dãy này bị chặn trên. Theo nguyên lý Weierstrass, thì dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Gọi $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=a \quad (a \geq 2)$. Theo hệ thức truy hồi, thì: 

$a-a=\frac{1}{2023}(a^2-a)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=0 \\ a=1 & \end{array} \right .$, vô lý.

Nên điều giả sử là sai, dãy này không bị chặn trên, hay $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$

Mặt khác, ta xét biến đổi:

$\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n(u_n-1)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{u_n^2-u_n}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$

$=\frac{2023(u_{n+1}-u_n)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{2023[(u_{n+1}-1)-(u_n-1)]}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$

$=\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

Theo đó, ta có:

$v_n=\frac{u_1}{u_2-1}+\frac{u_2}{u_3-1}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}-1}$

$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_2-1}+\frac{2023}{u_2-1}-\frac{2023}{u_3-1}+\cdots+\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

Suy ra $\lim v_n=\lim\left ( \frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}\right )=\frac{2023}{u_1-1}=2023$.

Theo như e nghĩ thì bài này chỉ cần CM $u_n > 1$ thì nó tăng ngặt 

Do dãy $u_n$ tăng ngặt nên theo định lí weierstrass thì nó có giới hạn hữu hạn 

Như v có đúng ko ạ

[Hoang72]

Theo như e nghĩ thì bài này chỉ cần CM $u_n > 1$ thì nó tăng ngặt 

Do dãy $u_n$ tăng ngặt nên theo định lí weierstrass thì nó có giới hạn hữu hạn 

Như v có đúng ko ạ

Tăng ngặt kết hợp chặn trên mới có giới hạn hữu hạn

[Ruka]

Trước tiên, ta chứng minh dãy $(u_n)$ tăng.

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chỉ ra $u_n \geq 2 \quad \forall n\in\mathbb{N}$.

Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2023}(u_n-1) \geq \frac{2}{2023}(2-1)>0$

Hay $(u_n)$ là dãy tăng. 

Giả sử dãy này bị chặn trên. Theo nguyên lý Weierstrass, thì dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.

Gọi $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=a \quad (a \geq 2)$. Theo hệ thức truy hồi, thì: 

$a-a=\frac{1}{2023}(a^2-a)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=0 \\ a=1 & \end{array} \right .$, vô lý.

Nên điều giả sử là sai, dãy này không bị chặn trên, hay $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$

Mặt khác, ta xét biến đổi:

$\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n(u_n-1)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{u_n^2-u_n}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$

$=\frac{2023(u_{n+1}-u_n)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{2023[(u_{n+1}-1)-(u_n-1)]}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$

$=\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

Theo đó, ta có:

$v_n=\frac{u_1}{u_2-1}+\frac{u_2}{u_3-1}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}-1}$

$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_2-1}+\frac{2023}{u_2-1}-\frac{2023}{u_3-1}+\cdots+\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$

Suy ra $\lim v_n=\lim\left ( \frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}\right )=\frac{2023}{u_1-1}=2023$.

 

Theo e thì biến đổi từ hệ thức truy hồi sẽ gọn và dễ hình dung hơn

Ta xét biến đổi:

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2023}(u_n^2-u_n)$

 

$\to 2023u_{n+1} = u_n^2 + 2022u_n$

 

$\to 2023(u_{n+1} - 1) = (u_n-1)(u_n - 2023)$

 

$\to \dfrac{u_n-2023}{u_{n+1} - 1} = \dfrac{2023}{u_n-1}$

 

$\to \dfrac{u_n}{u_{n+1} - 1} = 2023(\dfrac{1}{u_n-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1})$

 

Suy ra luôn $\displaystyle\lim v_n = \displaystyle\lim 2023(\dfrac{1}{u_1-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1}) = \dfrac{2023}{u_1-1} = 2023$

 

P/s : Vừa gọn hơn + đẹp hơn

         Feel so bad bout' function tho :V

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 17-02-2023 - 20:42

[Ruka]

1 cách biến đổi khác 

 

Ta xét biến đổi:

$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2023}(u_n^2-u_n)$

 

$\to 2023(u_{n+1} - u_n)= u_n^2 - u_n$

 

$\to \dfrac{2023(u_{n+1} - u_n)}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}= \dfrac{u_n(u_n - 1)}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}$

 

$\to \dfrac{2023[u_{n+1} - 1 - (u_n - 1)]}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}= \dfrac{u_n(u_n - 1)}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}$

 

$\to 2023(\dfrac{1}{u_n-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1})= \dfrac{u_n}{u_{n+1}-1}$

 

Suy ra luôn $\displaystyle\lim v_n = \displaystyle\lim 2023(\dfrac{1}{u_1-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1}) = \dfrac{2023}{u_1-1} = 2023$

 

P/s : 4 dòng là xong luôn nên dùng HTTH hơn là CM trực tiếp