Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho $a_{0}=\sqrt{2}$,$b_{0}=2$,$a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_{n}^{2}}}$,$b_{n+1}=\frac{2b_{n}}{2+\sqrt{4+b_{n}^{2}}}$

1. Chứng minh $(a_{n},b_{n})$ không tăng và hội tụ về 0

2. Chứng minh $(2^{n}a_{n})$ tăng và $(2^{n}b_{n})$ giảm và hai dãy đó hội tụ về cùng một giá trị

3. Chứng minh rằng tồn tại một số C sao cho với mọi n thì bất đẳng thức sau luôn đúng:

$0<b_{n}-a_{n}<\frac{C}{8^{n}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Explorer: 27-09-2023 - 17:20

[nhungvienkimcuong]

Cho $a_{0}=\sqrt{2}$,$b_{0}=2$,$a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_{n}^{2}}}$,$b_{n+1}=\frac{2b_{n}}{2+\sqrt{4+b_{n}^{2}}}$

1. Chứng minh $(a_{n},b_{n})$ không tăng và hội tụ về 0

2. Chứng minh $(2^{n}a_{n})$ tăng và $(2^{n}b_{n})$ giảm và hai dãy đó hội tụ về cùng một giá trị

3. Chứng minh rằng tồn tại một số C sao cho với mọi n thì bất đẳng thức sau luôn đúng:

$0<b_{n}-a_{n}<\frac{C}{8^{n}}$

Với hình thức truy hồi như này thì nghĩ ngay đến công thức lượng giác, mò một tí ta thấy rằng với $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ thì

\[\sqrt{2-\sqrt{4-(2\sin \alpha)^2}}=2\sin\frac{\alpha}{2},\quad \frac{2\cdot 2\tan\alpha}{2+\sqrt{4+(2\tan\alpha)^2}}=2\tan\frac{\alpha}{2}.\]

Từ đây quy nạp thu được $a_n=2\sin\frac{\pi}{2^{n+2}}$ và $b_n=2\tan\frac{\pi}{2^{n+2}}$.

 

Có được công thức của hai dãy thì dễ dàng xử lí hai ý đầu tiên, ý còn lại tương đương với $0<\frac{\tan\frac{\pi}{2^{n+2}}-\sin\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\left ( \frac{\pi}{2^{n+2}} \right )^3}<C'$. Chú ý rằng

\[\lim_{n\to \infty}\frac{\tan\frac{\pi}{2^{n+2}}-\sin\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\left ( \frac{\pi}{2^{n+2}} \right )^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}\]

là giải quyết xong.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 09-10-2023 - 11:33