Cho dãy số $\begin{cases} u_1=2\\u_{n+1} -u_n= \dfrac{1}{2023}(u_n^2-u_n) \end{cases}$
Đặt $v_n = \dfrac{u_1}{u_2-1} + \dfrac{u_2}{u_3-1} + ... + \dfrac{u_n}{u_{n+1}-1} $
Tính lim $v_n$
Trước tiên, ta chứng minh dãy $(u_n)$ tăng.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chỉ ra $u_n \geq 2 \quad \forall n\in\mathbb{N}$.
Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2023}(u_n-1) \geq \frac{2}{2023}(2-1)>0$
Hay $(u_n)$ là dãy tăng.
Giả sử dãy này bị chặn trên. Theo nguyên lý Weierstrass, thì dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Gọi $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=a \quad (a \geq 2)$. Theo hệ thức truy hồi, thì:
$a-a=\frac{1}{2023}(a^2-a)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=0 \\ a=1 & \end{array} \right .$, vô lý.
Nên điều giả sử là sai, dãy này không bị chặn trên, hay $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$
Mặt khác, ta xét biến đổi:
$\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n(u_n-1)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{u_n^2-u_n}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$
$=\frac{2023(u_{n+1}-u_n)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{2023[(u_{n+1}-1)-(u_n-1)]}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$
$=\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
Theo đó, ta có:
$v_n=\frac{u_1}{u_2-1}+\frac{u_2}{u_3-1}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}-1}$
$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_2-1}+\frac{2023}{u_2-1}-\frac{2023}{u_3-1}+\cdots+\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
Suy ra $\lim v_n=\lim\left ( \frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}\right )=\frac{2023}{u_1-1}=2023$.
Trước tiên, ta chứng minh dãy $(u_n)$ tăng.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chỉ ra $u_n \geq 2 \quad \forall n\in\mathbb{N}$.
Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2023}(u_n-1) \geq \frac{2}{2023}(2-1)>0$
Hay $(u_n)$ là dãy tăng.
Giả sử dãy này bị chặn trên. Theo nguyên lý Weierstrass, thì dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Gọi $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=a \quad (a \geq 2)$. Theo hệ thức truy hồi, thì:
$a-a=\frac{1}{2023}(a^2-a)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=0 \\ a=1 & \end{array} \right .$, vô lý.
Nên điều giả sử là sai, dãy này không bị chặn trên, hay $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$
Mặt khác, ta xét biến đổi:
$\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n(u_n-1)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{u_n^2-u_n}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$
$=\frac{2023(u_{n+1}-u_n)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{2023[(u_{n+1}-1)-(u_n-1)]}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$
$=\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
Theo đó, ta có:
$v_n=\frac{u_1}{u_2-1}+\frac{u_2}{u_3-1}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}-1}$
$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_2-1}+\frac{2023}{u_2-1}-\frac{2023}{u_3-1}+\cdots+\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
Suy ra $\lim v_n=\lim\left ( \frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}\right )=\frac{2023}{u_1-1}=2023$.
Theo như e nghĩ thì bài này chỉ cần CM $u_n > 1$ thì nó tăng ngặt
Do dãy $u_n$ tăng ngặt nên theo định lí weierstrass thì nó có giới hạn hữu hạn
Như v có đúng ko ạ
Trước tiên, ta chứng minh dãy $(u_n)$ tăng.
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chỉ ra $u_n \geq 2 \quad \forall n\in\mathbb{N}$.
Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{u_n}{2023}(u_n-1) \geq \frac{2}{2023}(2-1)>0$
Hay $(u_n)$ là dãy tăng.
Giả sử dãy này bị chặn trên. Theo nguyên lý Weierstrass, thì dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn.
Gọi $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=a \quad (a \geq 2)$. Theo hệ thức truy hồi, thì:
$a-a=\frac{1}{2023}(a^2-a)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} a=0 \\ a=1 & \end{array} \right .$, vô lý.
Nên điều giả sử là sai, dãy này không bị chặn trên, hay $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$
Mặt khác, ta xét biến đổi:
$\frac{u_n}{u_{n+1}-1}=\frac{u_n(u_n-1)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{u_n^2-u_n}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$
$=\frac{2023(u_{n+1}-u_n)}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}=\frac{2023[(u_{n+1}-1)-(u_n-1)]}{(u_{n+1}-1)(u_n-1)}$
$=\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
Theo đó, ta có:
$v_n=\frac{u_1}{u_2-1}+\frac{u_2}{u_3-1}+\cdots +\frac{u_n}{u_{n+1}-1}$
$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_2-1}+\frac{2023}{u_2-1}-\frac{2023}{u_3-1}+\cdots+\frac{2023}{u_n-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
$=\frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}$
Suy ra $\lim v_n=\lim\left ( \frac{2023}{u_1-1}-\frac{2023}{u_{n+1}-1}\right )=\frac{2023}{u_1-1}=2023$.
Theo e thì biến đổi từ hệ thức truy hồi sẽ gọn và dễ hình dung hơn
Ta xét biến đổi:
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2023}(u_n^2-u_n)$
$\to 2023u_{n+1} = u_n^2 + 2022u_n$
$\to 2023(u_{n+1} - 1) = (u_n-1)(u_n - 2023)$
$\to \dfrac{u_n-2023}{u_{n+1} - 1} = \dfrac{2023}{u_n-1}$
$\to \dfrac{u_n}{u_{n+1} - 1} = 2023(\dfrac{1}{u_n-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1})$
Suy ra luôn $\displaystyle\lim v_n = \displaystyle\lim 2023(\dfrac{1}{u_1-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1}) = \dfrac{2023}{u_1-1} = 2023$
P/s : Vừa gọn hơn + đẹp hơn
Feel so bad bout' function tho :V
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ruka: 17-02-2023 - 20:42
1 cách biến đổi khác
Ta xét biến đổi:
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2023}(u_n^2-u_n)$
$\to 2023(u_{n+1} - u_n)= u_n^2 - u_n$
$\to \dfrac{2023(u_{n+1} - u_n)}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}= \dfrac{u_n(u_n - 1)}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}$
$\to \dfrac{2023[u_{n+1} - 1 - (u_n - 1)]}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}= \dfrac{u_n(u_n - 1)}{(u_n-1)(u_{n+1}-1)}$
$\to 2023(\dfrac{1}{u_n-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1})= \dfrac{u_n}{u_{n+1}-1}$
Suy ra luôn $\displaystyle\lim v_n = \displaystyle\lim 2023(\dfrac{1}{u_1-1} - \dfrac{1}{u_{n+1}-1}) = \dfrac{2023}{u_1-1} = 2023$
P/s : 4 dòng là xong luôn nên dùng HTTH hơn là CM trực tiếp
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh