Lời giải
Áp dụng cosi:
+) $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$
$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}$
+) $\frac{1}{\sqrt{a+b}}.\frac{1}{\sqrt{c+a}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a} \right ) \Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(a+b)(c+a)}}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a} \right )$
Tương tự: ....
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c} \right )=\frac{1}{2}.(1+1+1)=\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}(TM)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 30-05-2023 - 17:11