Chủ đề này có 6 trả lời

[katcong]

Tìm p,q,r là các số nguyên tố thỏa mãn : $(p^{2}+1)(q^{2}+1)=r^{2}+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi katcong: 14-09-2023 - 20:58

[nhancccp]

Tìm p,q,r là các số nguyên tố thỏa mãn : $(p^{2}+1)(q^{2}+1)=r^{2}+1$

Xét $r$ chẵn,vì $r$ là số nguyên tố nên $r=2$

Vậy phương trình đã cho tương đương với $(p^2+1)(q^2+1)=5$

Ta xét trường hợp $\left\{\begin{matrix} & p^2+1=5\\ & q^2+1=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & p=2\\ & q=0 \end{matrix}\right.$ (loại)

Xét $r$ lẻ,đặt $r=2k+1$

Phương trình trên tương đương với $(p^2+1)(q^2+1)=2(2k^2+2k+1)$ (1)

Vì VT chẵn nên tồn tại 1 trong 2 số $p;q$ bằng 2,giả sử số đó là $p$

$(1)\Leftrightarrow 5(q^2+1)=2(2k^2+2k+1)$

Giải phương trình ta tìm được nghiệm $q=3;k=3$ suy ra $q=3;r=7$ 

Vậy $p=2;q=3;r=7$ là các số thỏa mãn

[perfectstrong]

Vì VT chẵn nên tồn tại 1 trong 2 số $p;q$ bằng 2,giả sử số đó là $p$

Bạn giải thích chỗ này rõ thêm tí được không?

[nhancccp]

Bạn giải thích chỗ này rõ thêm tí được không?

Một trong 2 số $p;q$ chẵn mà nó lại là số nguyên tố nữa nên có 1 số bằng 2
Phần ở dưới em bận quá nên mò đại nghiệm,dùng casio test thử thì chỉ có cặp đó thôi ạ

[hovutenha]

Bạn giải thích chỗ này rõ thêm tí được không?

Giả sử cả 2 số $p$,$q$ đều lẻ thì vế trái chia hết cho 4 nhưng mà vế phải chỉ chia hết cho 2 nên mâu thuẫn
Tương tự nếu cả $p$ và $q$ đều chẵn thì vế trái lại không chia hết cho 2 nên cũng mâu thuẫn
Do đó thì trong 2 số $p$, $q$ có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

[perfectstrong]

Một trong 2 số $p;q$ chẵn mà nó lại là số nguyên tố nữa nên có 1 số bằng 2
Phần ở dưới em bận quá nên mò đại nghiệm,dùng casio test thử thì chỉ có cặp đó thôi ạ

Ý mình hỏi là tại sao lại biết là $p$ hoặc $q$ phải chẵn? Đúng ra bạn nên giải thích như bạn @hovutenha là được

[dinhvu]

Câu này có thể xét đồng dư theo module 2 và 3 và đánh giá $r> 4$ nên $p=2,q=3$ hoặc $q=2,p=3$ và suy ra $r=7$