Chủ đề này có 1 trả lời

[Hahahahahahahaha]

cho a,b,c là các số thực dương khác 0. CMR: $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}{\sqrt{2}}$

[hoangghiep]

Lời giải

$LHS = \sum \frac{a^2}{b} = \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b}+3 \sum \frac{a^2}{b} \right) \geq \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b}+3\frac{(\sum a)^2}{\sum a} \right)= \frac{1}{4} \left(\sum \frac{a^2}{b} +3\sum a \right) = \frac{1}{4} \sum \left(\frac{a^2}{b}+3b\right) = \frac{1}{4} \sum \left(\frac{a^2+b^2}{b}+2b \right)$ $\geq \frac{1}{4} \sum 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{b}.2b}=\frac{1}{4} \sum 2\sqrt{2(a^2+b^2)} = \sum \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2}} = RHS $