cho $a,b,c$ là ba số thực bất kì. CMR: $(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq \frac{4}{7}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 12-12-2023 - 18:35
cho $a,b,c$ là ba số thực bất kì. CMR: $(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq \frac{4}{7}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 12-12-2023 - 18:35
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
Ủa bài này có vấn đề gì không vậy nhỉ?
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
Ủa bài này có vấn đề gì không vậy nhỉ?
..... chắc giờ đề mới đúng (sửa)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 12-12-2023 - 18:45
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
chú ý: bài toán này có thể xuất phát từ bài toán sau:
CMR với mọi số thực $a,b,c$ ta có:
$(x+y+z)^{4}+(y+z-x)^{4}+(z+x-y)^{4}+(x+y-z)^{4}\leq 28(x^{4}+y^{4}+z^{4}) (1)$
vì $(x+y+z)^{4}\geq 0$ nên nếu đặt $a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}$
thì $(1)$ trở thành: $\sum (a+b)^{4}\geq \frac{4}{7}(\sum a^{4})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 08-03-2024 - 12:51
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
do đó ta sẽ đi chứng minh $(1)$ đúng
bài toán $(1)$ gợi cho ta hằng đẳng thức:
$(a-b)^{4}+(a+b)^{4}=2(a^{4}+6a^{2}b^{2}+b^{4}) (*)$
áp dụng $(*)$ vào bài toán $(1)$ ta được:
$(x+y+z)^{4}+(y+z-x)^{4}=2[(y+z)^{4}+6(y+z)^{2}x^{2}+x^{4}]$
$(z+x-y)^{4}+(x+y-z)^{4}=2[(y-z)^{4}+6(y-z)^{2}x^{2}+x^{4}]$
$(y+z)^{4}+(y-z)^{4}=2[y^{4}+6y^{2}z^{2}+z^{4}]$
Suy ra:
$(x+y+z)^{4}+(y+z-x)^{4}+(z+x-y)^{4}+(x+y-z)^{4}$
$=4(x^{4}+y^{4}+z^{4})+24y^{2}z^{2}+12x^{2}[(y+z)^{2}+(y-z)^{2}]$
$=4(x^{4}+y^{4}+z^{4})+24(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})$
để ý rằng $(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}$ nên ta có đpcm
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh