Chủ đề này có 4 trả lời

[Hahahahahahahaha]

cho $a,b,c$ là ba số thực bất kì. CMR: $(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq \frac{4}{7}(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 12-12-2023 - 18:35

[nguyenhuybao06]

Ủa bài này có vấn đề gì không vậy nhỉ? 

[Hahahahahahahaha]

Ủa bài này có vấn đề gì không vậy nhỉ? 

..... chắc giờ đề mới đúng (sửa)  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 12-12-2023 - 18:45

[Hahahahahahahaha]

chú ý: bài toán này có thể xuất phát từ bài toán sau:

CMR với mọi số thực $a,b,c$ ta có:

$(x+y+z)^{4}+(y+z-x)^{4}+(z+x-y)^{4}+(x+y-z)^{4}\leq 28(x^{4}+y^{4}+z^{4}) (1)$

vì $(x+y+z)^{4}\geq 0$ nên  nếu đặt $a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}$

thì $(1)$ trở thành: $\sum (a+b)^{4}\geq \frac{4}{7}(\sum a^{4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 08-03-2024 - 12:51

[Hahahahahahahaha]

do đó ta sẽ đi chứng minh $(1)$ đúng

bài toán $(1)$ gợi cho ta hằng đẳng thức:

$(a-b)^{4}+(a+b)^{4}=2(a^{4}+6a^{2}b^{2}+b^{4}) (*)$

áp dụng $(*)$ vào bài toán $(1)$ ta được:

$(x+y+z)^{4}+(y+z-x)^{4}=2[(y+z)^{4}+6(y+z)^{2}x^{2}+x^{4}]$

$(z+x-y)^{4}+(x+y-z)^{4}=2[(y-z)^{4}+6(y-z)^{2}x^{2}+x^{4}]$

$(y+z)^{4}+(y-z)^{4}=2[y^{4}+6y^{2}z^{2}+z^{4}]$

Suy ra:

$(x+y+z)^{4}+(y+z-x)^{4}+(z+x-y)^{4}+(x+y-z)^{4}$

$=4(x^{4}+y^{4}+z^{4})+24y^{2}z^{2}+12x^{2}[(y+z)^{2}+(y-z)^{2}]$

$=4(x^{4}+y^{4}+z^{4})+24(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})$

để ý rằng $(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2})\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}$ nên ta có đpcm