Chủ đề này có 1 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c dương có tổng bằng 3 .
Chứng minh rằng $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+ac+bc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 21-06-2012 - 18:38

[NguyThang khtn]

Cho a,b,c dương có tổng bằng 3 .
Chứng minh rằng $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+ac+bc$

Theo AM-GM ta có:
$\sqrt[3]{a}= \frac{a}{\sqrt[3]{a^2}} \geq \frac{3a}{2a+1};...$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$3(\frac{3a}{2a+1}+\frac{3b}{2bc+1}+\frac{3c}{2c+1}) \geq ab+bc+ac$
Đặt $ab+bc+ac=q(0 < q \le 3$ và $r=abc$
Quy đồng mẫu số và khai triển ta được:
$f(r)=4q^2-5q-9+r(8q-36) \leq 0$
BĐT đúng với $q \leq \frac{9}{4}$
Xét trường hợp: $\frac{9}{4} \leq q \leq 3$
Theo BĐT Schur bậc 3 ta có:
$r \geq \frac{4q-9}{3}$. Từ đó kết hợp với $8q-6 < 0$, suy ra:
$f(r) \leq 4q^2-5q-9+\frac{4q-9}{3}(8q-6) = \frac{11}{3}(4q-9)(q-3) \leq 0$
Q.E.D