Chủ đề này có 3 trả lời

[heophonui]

$x,y,z\geq 0; xy+yz+zx\leq 3$
chứng minh $\frac{2}{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi heophonui: 22-06-2012 - 15:25

[Nguyễn Hoàng Lâm]

$x,y,z\geq 0; xy+yz+zx\leq 3$
chứng minh $\frac{2}{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)}\geq 3$

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số :
$ P= \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+ \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \geq 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)^2(2x+y)(2y+z)(2z+x)}} \\
\Leftrightarrow P \geq 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)(2xz+yz)(2yx+zx)(2zy+xy)}} $
Lại có: $ (2xz+yz)(2yx+zx)(2zy+xy) \leq [\frac{(2xz+yz)+(2yx+xz)+(2yz+xy)}{3}]^3 \leq 27 $
Và $ xyz = \sqrt{(xy.yz.xz)} \leq \sqrt { (\frac{xy+yz+zx}{3})^3 } \leq 1 $
Do đó$ 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)(2xz+yz)(2yx+zx)(2zy+xy)}} \geq 3 \\
\Rightarrow P \geq 3 $
Đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c =1 $

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số :
$ P= \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+ \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \geq 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)^2(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$

Em nghĩ là chỗ: $\sqrt{xyz}.\sqrt{xyz} = (xyz)^2$ hơi có chút nhầm lẫn.


Chính vì thế, ta chỉ suy ra được là:

$P= \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+ \frac{1 }{\sqrt{xyz}}+\frac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \geq 9\sqrt[3] {\frac{1}{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$

Còn vì $xyz \leq 1 \Rightarrow xyz \geq (xyz)^2$ nên:

$9\sqrt[3] {\frac{1}{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}} \leq 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)^2(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$

Điều này chưa khẳng định được rằng:

$P \geq 9\sqrt[3] {\frac{1}{(xyz)^2(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$


Em nghĩ có thể làm theo hướng đó, nhưng đơn giản hơn 1 chút!
Ta thấy:
$P = \dfrac{2}{\sqrt{xyz}} + \dfrac{27xyz}{(2xz + yz)(2xy + xz)(2yz + xy)}$

$\geq \dfrac{2}{\sqrt{xyz}} + \dfrac{27xyz}{(\dfrac{3(xy + yz + zx)}{3})^3} = \dfrac{2}{\sqrt{xyz}} + \dfrac{27xyz}{(xy + yz + zx)^3}$

$\geq \dfrac{2}{\sqrt{xyz}} + xyz = \dfrac{1}{\sqrt{xyz}} + \dfrac{1}{\sqrt{xyz}} + xyz \geq 3$

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 23-06-2012 - 11:41

[Ispectorgadget]

Không ai chém à.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$$\dfrac{1}{\sqrt{xyz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xyz}}+\dfrac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{27}{xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x)}}$$
Đánh giá mẫu:
$$xyz(2x+y)(2y+z)(2z+x) = (2xz+yz)(2yx+zx)(2zy+xy) \le \dfrac{3^3(xy+yz+xz)^3}{27} \le 3^3$$
$$\Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{xyz}}+\dfrac{27}{(2x+y)(2y+z)(2z+x)} \geq 3$$