Chủ đề này có 3 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c không âm thõa mãn a+b+c≥abc.Chứng minh rằng a²+b²+c²≥abc

[minh29995]

Cho a,b,c không âm thõa mãn a+b+c≥abc.Chứng minh rằng a²+b²+c²≥abc

Nếu $a,b,c\geq 1$ thì rõ ràng $a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\geq abc$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3
Nếu a,b,c có ít nhất 1 sô nhỏ hơn 1 thì ta có:
$abc\leq ab\leq 2ab\leq a^2+b^2+c^2$
Suy ra BĐT đúng. Dấu bằng kh8i a=b=c=0

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Phan chung : Gia su $a^2+b^2+c^2 < abc \Rightarrow a^2 < abc \Rightarrow a <bc $
Tuong tu $\Rightarrow abc\leq a+b+c < ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2<abc$ (vo ly )
Vay dieu gia su la sai hay $a^2+b^2+c^2 \geq abc $ . DPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 23-06-2012 - 19:08

[ninhxa]

Cho a,b,c không âm thõa mãn a+b+c≥abc.Chứng minh rằng a²+b²+c²≥abc

(Cách khác ko dùng giả sử)
-Áp dụng bdt $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx$ và $(x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+zx)$ ta có:
$(a^2+b^2+c^2)^2\geq (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)\geq 3a^2b^2c^2\geq a^2b^2c^2$
-Do vậy: $a^2+b^2+c^2\geq abc$