Chủ đề này có 1 trả lời

[lovefly]

giả sử $n \in \mathbb{N^*},p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ và $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $x>\frac{n+p^2}{2p}$.chứng minh rằng $x^2-n$ không là số chính phương.

Dark Templar: Bạn vui lòng đọc kỹ 2 topic dưới đây khi post bài.Do là lần đầu nên mình sẽ sửa tiêu đề +Latex cho bạn.
Cách đặt tiêu đề bài viết.
Cách gõ Latex trong bài viết.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-11-2012 - 08:12

[nguyenta98]

giả sử $n \in \mathbb{N^*},p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ và $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn $x>\frac{n+p^2}{2p}$.chứng minh rằng $x^2-n$ không là số chính phương.

Đề bài này thiếu một điều kiện quan trọng là $x\neq \dfrac{n+1}{2}$ vì nếu $x=\dfrac{n+1}{2}$ thì $\dfrac{n+1}{2}>\dfrac{n+p^2}{2p} \Rightarrow (n+1)p>n+p^2 \Rightarrow (n-p)(p-1)>0$ luôn đúng và khi ấy $x^2-n=\left(\dfrac{n-1}{2}\right)^2$ thì vẫn thỏa đề
Như vậy cần thêm đk là $x\neq \dfrac{n+1}{2}$ $(*)$
$$**********$$
Giải như sau:
Giả sử phản chứng $x^2-n=k^2$ là số chính phương suy ra $n=(x-k)(x+k)$ đặt $x-k=v,x+k=u \Rightarrow n=uv,x=\dfrac{u+v}{2}$ với $v\le u$ (do $x-k\le x+k$)
TH1: $n$ nguyên tố khi ấy $n=p$ lúc đó $p=(x-k)(x+k) \Rightarrow x-k=1,x+k=p \Rightarrow x=\dfrac{p+1}{2}$ mà $x>\dfrac{n+p^2}{2p} \Rightarrow x>\dfrac{p+p^2}{2p} \Rightarrow x>\dfrac{p+1}{2}$ mâu thuẫn
TH2: $n$ là hợp số khi ấy $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$
Ta lại có $x>\frac{n+p^2}{2p} \Rightarrow \dfrac{u+v}{2}>\frac{uv+p^2}{2p} \Rightarrow (u+v)p>uv+p^2 \Rightarrow (u-p)(p-v)>0$ $(1)$
Mà ta lại có $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$ và $n=uv \vdots p \Rightarrow u>p$ vì nếu $u\le p$ thì do $p$ là ước nguyên tố bé nhất của $n$ nên có hai khả năng, nếu $u$ là hợp số suy ra $u \vdots r$ suy ra $p\geq u>r$ (do $u$ hợp số) khi ấy $r$ là ước nguyên tố của $n$ mà $r<p$ đây là điều vô lí, do đó $u=1$ hoặc $u$ nguyên tố nhưng $u=1$ thì $v=1$ suy ra $n=1$ vô lí vì khi ấy $n$ không có ước nguyên tố suy ra $u$ nguyên tố mà dẫn đến $u=p$ khi ấy $(u-p)(p-v)=0$ cũng vô lí với $(1)$. Tóm lại ta thu được $u>p$ khi ấy $(u-p)(p-v)>0 \Rightarrow p-v>0 \Rightarrow p>v$ mà cm tương tự như $u$ thì $v$ không thể là hợp số, nên $v=1$ hoặc $v$ nguyên tố, nhưng $v$ nguyên tố mà $p>v$ thì $v$ là ước số nguyên tố nhỏ nhât của $n$ vô lí vì $p$ mới là số đó, do đó $v=1$ suy ra $u=n$ như vậy $x-k=1,x+k=n \Rightarrow x=\dfrac{n+1}{2}$ vô lí vì từ đầu ta đã cần $x\neq \dfrac{n+1}{2}$ (theo $(*)$)
Vậy giả thiết phản chứng là sai nên $x^2-n$ không là số chính phương với $n>\dfrac{n+p^2}{2p}$ và $x\neq \dfrac{n+1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-11-2012 - 11:40