Chủ đề này có 2 trả lời

[namcpnh]

Cho $a,b,c>0$.CMR: $a^{3}b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

[IloveMaths]

áp dụng định lí muirhead

ta co:
$(3,1)\succ (2,2)$

[Joker9999]

Cho $a,b,c>0$.CMR: $a^{3}b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

Khá đơn giản
Giải như sau:
Chuẩn hoá $abc=1$, ta có BDT đã cho trở thành:
$\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\geq \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}$
Bằng việc trừ 2 vế đj $a+b+c$$a+b+c$ và chuyển BDT về dạng chuẩn SOS ta có:$\sum S_a(b-c)^2\geq 0$ trong đó:
$S_a=\frac{2}{b}-\frac{a}{bc};S_b=\frac{2}{c}-\frac{b}{ac};S_c=\frac{2}{a}-\frac{c}{ab}$
Tới đây chắc dễ rồi, giả sử $a\geq b\geq c$ và $a\leq b\leq c$ dễ CM thui