Chủ đề này có 4 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Hãy tính tổng :
$$S=\sum_{k=1}^{2n}\sum_{j=0}^{2n-k}(-1)^{j}\binom{2n}{j+1}\binom{2n-k}{j}$$

Đã sửa đề ngày 27/12.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-12-2012 - 21:28

[gogo123]

Xét hàm sinh của bài toán với hệ số của $x^{2n}$ ta có:
$$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=1}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-k}(-1)^{j}\binom{2n}{j+1}\binom{2n-k}{j}x^{2n}$$
Chú ý khai triển sau:
$$\frac{1}{(1-x)^{n+1}}=\sum_{k=0}^{\infty }\binom{n+k}{k}x^{k}$$
Ta thực hiện biến đổi:
$F(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=1}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-k}(-1)^{j}\binom{2n}{j+1}\binom{2n-k}{j}x^{2n}$
$=\sum_{k=1}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-k}(-1)^{j}\binom{2n-k}{j}x^{j+1}\sum_{2n=j+1}^{\infty }\binom{2n}{2n-j-1}x^{2n-j-1}$
$=\sum_{k=1}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-k}(-1)^{j}\binom{2n-k}{j}x^{j+1}.\frac{1}{(1-x)^{j+2}}$
$=\frac{x}{(1-x)^{2}}\sum_{k=1}^{2n-1}\sum_{j=0}^{2n-k}(-1)^{j}\binom{2n-k}{j}\frac{x^{j}}{(1-x)^{j}}$
$=\frac{x}{(1-x)^{2}}.\sum_{k=1}^{2n-1}\left (1-\frac{x}{1-x} \right )^{2n-k}$
Sau một số phép biến đổi cho cấp số nhân ta được:
$$F(x)=\frac{1-2x}{(1-x)^{2}}-\frac{(1-2x)^{2n}}{(1-x)^{2n+1}}$$
$=(1-2x)\left ( \sum_{i=0}^{\infty } (i+1)x^{i}\right )-\frac{1}{1-x}.\left ( 1-\frac{x}{1-x} \right )^{2n}$
Hệ số của $x^{2n}$ trong khai triển $F(x)$ là...
Vậy ....
Tạm thời chưa ra kết quả cuối cùng,ăn cơm đã.

Tiếp tục lời giải lúc nãy ta có:
Chú ý: $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+...$
Ta có:
$$F(x)=(1-2x)(\sum_{i=0}^{\infty }(i+1)x^{i})-(1+x+x^{2}+...)(1-x-x^{2}-...)^{2n}$$
Dễ thấy hệ số của $x^{2n} $ trong $F(x)$ chính bằng hệ số của $x^{2n}$ trong khai triẻn
$$G(x)=(2n+1-4n)x^{2n}-(1+x+x^{2}+...+x^{2n}).(1-x-x^{2}-...-x^{2n})^{2n}$$
( cái $2n+1-4n$ là hệ số của $x^{2n}$ trong $ (1-2x)(\sum_{i=0}^{\infty }(i+1)x^{i})$
Đoạn sau vẫn chưa nghĩ ra tại sao hệ số của $x^{2n}$ trong $(1+x+x^{2}+...+x^{2n}).(1-x-x^{2}-...-x^{2n})^{2n}$ lại bằng $(-1)^{n}\binom{2n}{n}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 15-01-2013 - 23:11

[dark templar]

Xin đính chính lại đề là cho $k$ chạy tới $2n$ chứ không phải là $2n-1$.
P.s:Chắc không ảnh hưởng nhiều đến tính toán của gogo123 nhỉ

@hxthanh: Em sửa đề để cho đáp án bằng $1-(-1)^n{2n\choose n}$ chứ gì!
(Để đề như cũ có chết ai đâu!)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 27-12-2012 - 22:01

[hxthanh]

Bài toán: Hãy tính tổng :
$$S=\sum_{k=1}^{2n}\sum_{j=0}^{2n-k}(-1)^{j}\binom{2n}{j+1}\binom{2n-k}{j}$$

Đã sửa đề ngày 27/12.

Cam đoan 100% bài này cu dark templar "chế" ra từ đẳng thức $\sum_{k=0}^{2n} (-1)^k{2n\choose k}^2=(-1)^n{2n\choose n}$

Thật vậy:
Đặt $m=2n-k\;\Rightarrow\begin{cases}k=1\leftrightarrow m=2n-1\\k=2n\leftrightarrow m=0\end{cases}$
ta được:
$S=\sum_{m=0}^{2n-1}\sum_{j=0}^m (-1)^j{2n\choose j+1}{m\choose j}$
hay
$S=\sum_{j=0}^{2n-1}\sum_{m=j}^{2n-1}(-1)^j{2n\choose j+1}{m\choose j}$
(Đảo thứ tự lấy tổng - chú ý là $0\le j\le m\le 2n-1$)
Do đó:
$S=\sum_{j=0}^{2n-1}\left[(-1)^j{2n\choose j+1}\sum_{m=j}^{2n-1}{m\choose j}\right]$
$\quad=\sum_{j=0}^{2n-1}\left[(-1)^j{2n\choose j+1}\sum_{m=j}^{2n-1}\Delta\left[{m\choose j+1}\right]\right]$
$\quad=\sum_{j=0}^{2n-1}\left[(-1)^j{2n\choose j+1}\left[{2n\choose j+1}-{j\choose j+1}\right]\right]$
$\quad=\sum_{j=0}^{2n-1}(-1)^j{2n\choose j+1}^2$
$\quad=-\sum_{j=1}^{2n}(-1)^j{2n\choose j}^2\quad$ (Tịnh tiến)
$\quad=1-\sum_{j=0}^{2n}(-1)^j{2n\choose j}^2\quad$
$\quad=1-(-1)^n{2n\choose n}$
Đẳng thức cuối cùng đã được chứng minh ở đây!

[hxthanh]

Đáp lễ cu dark templar một bài sau (dùng SPTP)

Tính tổng:
$S=\sum_{k=0}^n{2k\choose k}{2n-2k\choose n-k}$

@supermember : $ = 4^n$

@Dark templar: Em thật là bó tay với kiểu sai phân của anh rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 29-12-2012 - 21:43