Chủ đề này có 1 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ nhọn và $AD$, $BE$, $CF$ là các phân giác trong của tam giác $ABC$. Gọi $S_{0}$. $S$ lần lượt là diện tích các tam giác $DEF$ và $ABC$. Chứng minh rằng $4S_{0}\leq S$.
=====

Spoiler

Nói là tặng nhưng mọi người tham gia giải nhé

@Dark templar: Bài này thì hơi quen thuộc (dùng tỷ số diện tích),cho bài tổng quát thì sẽ vui hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 11-01-2013 - 11:15

[BlackSelena]

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ nhọn và $AD$, $BE$, $CF$ là các phân giác trong của tam giác $ABC$. Gọi $S_{0}$. $S$ lần lượt là diện tích các tam giác $DEF$ và $ABC$. Chứng minh rằng $4S_{0}\leq S$.
=====

Spoiler

Nói là tặng nhưng mọi người tham gia giải nhé

@Dark templar: Bài này thì hơi quen thuộc (dùng tỷ số diện tích),cho bài tổng quát thì sẽ vui hơn.

Tổng quát luôn nghen, với 1 điểm $P$ tong tam giác $AP,BP,CP$ lần lượt cắt các cạnh đối diện lại $D,E,F$ thì ta có $S_{0} \leq \dfrac{S}{4}$
Đặt $\dfrac{AF}{FB} = x; \dfrac{BD}{DC} =y ; \dfrac{CE}{EA} = z$
Vậy có:
$\dfrac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = 1 - \dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} - \dfrac{S_{BFD}}{S_{ABC}} - \dfrac{S_{CDE}}{S_{ABC}}$
$= 1 - \dfrac{x}{(x+1)(z+1)} - \dfrac{y}{(y+1)(x+1)} - \dfrac{z}{(z+1)(y+1)}$
$= 1 - \dfrac{x+y+z+xy+yz+xz}{(x+1)(y+1)(z+1)}$
Cần chứng minh $\dfrac{S_{DEF}}{S_{ABC}} \leq \dfrac{1}{4}$
Điều này tương đương $\dfrac{x+y+z+xy+yz+xz}{(x+1)(y+1)(z+1)} \geq \dfrac{3}{4} (*)$
Lại có, theo Ceva thì $xyz=1$
Vậy $(*)$ tương đương $x+y+z + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \geq 6$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo $AM-GM$.
Vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy ra khi $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-01-2013 - 11:31