Chủ đề này có 1 trả lời

[hand of god]

Cứng minh rằng với mọi số thực a,b,c dương ta luôn có:
$\sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3$

MOD: Chú ý tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 11-01-2013 - 23:36

[tim1nuathatlac]

Cứng minh rằng với mọi số thực a,b,c dương ta luôn có:
$\sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}+\sqrt{\frac{b^{2}+2c^{2}}{b^{2}+bc+ca}}+\sqrt{\frac{c^{2}+2a^{2}}{c^{2}+ca+ab}}\geq 3$

MOD: Chú ý tiêu đề.

Một ngày đẹp trời, không mưa, hửng nắng

Ta có

$\sum \sqrt{\frac{a^{2}+2b^{2}}{a^{2}+ab+bc}}\geq ^{AM-GM} 3\sqrt[6]{\frac{\left ( a^{2}+2b^{2} \right )\left ( b^{2}+2c^{2} \right )\left ( c^{2}+2a^{2} \right )}{\left ( a^{2}+ab+bc \right )\left ( b^{2}+bc+ca \right )\left ( c^{2}+ca+ab \right )}}$

Như vậy ta chỉ cần chỉ ra

$\left ( a^{2}+2b^{2} \right )\left ( b^{2}+2c^{2} \right )\left ( c^{2}+2a^{2} \right )\geq \left ( a^{2}+ab+bc \right )\left ( b^{2}+bc+ca \right )\left ( c^{2}+ca+ab \right )$

Sử dụng kĩ thuật ghép đối xứng,

$\left ( a^{2}+2b^{2} \right )\left ( b^{2}+2c^{2} \right )=\left ( b^{2}+b^{2}+a^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( b^{2}+bc+ca \right )^{2}$

Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi nhân vào ta được $Q.e.D$$\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 12-01-2013 - 18:37