Chủ đề này có 1 trả lời

[Stranger411]

Có tồn tại hay không đa thức P(x) thỏa:
(1) $degP(x) = 2003$
(2) $P(x^2 -2002) \vdots P(x)$ ($\forall x \in \mathbb{R}$)


ps: hồi chiều làm kiểm tra bị bể bài này (((

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-01-2013 - 22:02

[triethuynhmath]

Có tồn tại hay không đa thức P(x) thỏa:
(1) $degP(x) = 2003$
(2) $P(x^2 -2002) \vdots P(x)$ ($\forall x \in \mathbb{R}$)


ps: hồi chiều làm kiểm tra bị bể bài này (((

Có tồn tại đa thức này và ta sẽ chỉ ra đa thức đó là đa thức: $(x+\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1))^{2003}$
Chứng minh đa thức này thỏa mãn: $P(x^2-2002)=(x^2-2002+\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1))^{2003} \vdots (x+\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1))^2003$
Áp dụng định Lý Bezeout. Ta có: Xét đa thức $Q(x)=x^2-2002+\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1)$
Ta nhận thấy $Q(-\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1))=\frac{1}{4}(\sqrt{8009}-1)^2-2002+\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1)=0\Rightarrow (x^2-2002+\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1))\vdots (x+\frac{1}{2}(\sqrt{8009}-1))$.Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi triethuynhmath: 15-01-2013 - 22:26