Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Bài  toán 27 : Tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

 

i) $f(0)=1$

 

ii) $f(x+f(y))=f(x+y)+1$

 

iii) Tồn tại $x_0\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ mà $f(x_0)\in \mathbb{Z}$

[Idie9xx]

Bài  toán 27 : Tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện :

 

i) $f(0)=1$

 

ii) $f(x+f(y))=f(x+y)+1$

 

iii) Tồn tại $x_0\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ mà $f(x_0)\in \mathbb{Z}$

Cho $y=0$ có $f(x+f(0))=f(x)+1 \Rightarrow f(x+1)=f(x)+1$

Bằng qui nạp chứng minh được $f(x+n)=f(x)+n$ với $n \in \mathbb{Z}$

Khi cho $x=0$ thì ta có $f(n)=n+1$

Ta có $f(nf(x))=f(x+(n-1)f(x))+1=...=f(nx)+n$

Ta $x$ bằng $x_0$ tồn tại $n$ sao cho $nx_0 \in \mathbb{Z}$

Ta có $f(nf(x_0))=f(nx_0)+n \Rightarrow nf(x_0)=nx_0+n \Rightarrow f(x_0)=x_0+1$

Do $x_0\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ nên $x_0+1\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$

$\Rightarrow f(x_0) \in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$ mâu thuẫn với đề.

Vậy không tồn tại hàm thỏa