Đến nội dung


Hình ảnh

$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 07-06-2013 - 18:06

Bài toán 47 : Tìm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f$ tăng, toàn ánh thỏa mãn :

 

$f(f(x)+y)g(y)=f(x)g(x)+6xy+6x$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 18:36

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 07-06-2013 - 19:56

Bài toán 47 : Tìm $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f$ tăng, toàn ánh thỏa mãn :

 

$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$. $(*)$

Bài này không khó :))

Do $f$ toàn ánh nên tồn tại $a$ mà $f(a)=0$

Cho $y=-f(x),x\neq 0$ có $f(0)g(x)=f(x)g(x)-6xf(x)+6x\Rightarrow g(x)=\dfrac{6x(f(x)-1)}{f(x)-f(0)}$

Kết hợp với $(*)$ thì $f(x)=f(y)\Leftrightarrow x=y$ vậy $f$ song ánh.

Cho $y=-1$ có $f(f(x)-1)g(x)=f(x)g(x)\Rightarrow g(x)=0$ (không thoả) hoặc $f(x)=x+1\Rightarrow g(x)=6x$ (thoả)

Kết luận $f(x)=x+1$ và $g(x)=6x$ :))


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh