Bài toán 31: Tìm $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa : $f(x^3+y^3+z^3)=(f(x))^3+(f(y))^3+(f(z))^3$.
Bài làm :
Bằng pp đồng nhất hệ số thì ta tìm được
$(2n+1)^3=(2n-1)^3+(n+4)^3+(4-n)^3+(-5)^3+(-1)^3$
$(2n+2)^3=(2n-2)^3+(n+8)^3+(8-n)^3+(-10)^3+(-2)^3$
Suy ra mọi số nguyên dương lớn hơn $10$ đều có thể biểu diễn lập phương của nó dưới dạng tổng của $5$ lập phương của các số nguyên khác có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn nó
Trong giả thiết đã cho thay $x=y=z=0$ thì ta được $f(0)=3f^3(0)$ nên $f(0)=0$ (vì $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ )
Thay $y=z=0$, ta có $f^3(x)=(f(x))^3$
Thay $y=-z$, ta có $(f(x))^3=f^3(x)+f^3(y)+f^3(-y)\Rightarrow f^3(y)=-(f(y))^3\Rightarrow f(y)=-f(-y)$
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:$\forall k\in \mathbb{Z}, f(k)=kf^3(1)$
Do $f(y)=-f(-y)$ nên ta chỉ cần xét $k\in \mathbb{N}$
Với $k=0$ thì khẳng định hiển nhiên đúng
Với $k=1$:Thay $x=1, y=z=0$ thì $f(1)=f^3(1)$
Với $k=2$:Thay $x=y=1, z=0$, ta có $f(2)=2f^3(1)$
Với $k=3$:Thay $x=y=z=1$, ta có $f(3)=3f^3(1)$
Với $k=6$:Thay $x=2, y=z=-1$, ta có $f(6)=f^3(2)-2f^3(1)=6f^3(1)$
Với $k=7$:Thay $x=2, y=-1, z=0$ ta có $f(7)=f^3(2)-f^3(1)=7f^3(1)$
Với $k=8$:Thay $x=2,y=z=0$ ta có $f(8)=(2f(1))^3=8f^3(1)$
Với $k=9$:Thay $x=2, y=1,z=0$ ta có $f(9)=f^3(2)+f^3(1)=9f^3(1)$
Với $k=5$:Ta có $5^3=3^3+6^3+2^3+(-5)^3+(-1)^3\Rightarrow 5^3+5^3+1^3=3^3+6^3+2^3\Rightarrow f(5^3+5^3+1^3)=f(3^3+6^3+2^3)\Rightarrow 2f^3(5)+f^3(1)=f^3(3)+f^3(6)+f^3(2)=251f^9(1)\Rightarrow f(5)=5f^3(1)$
Với $k=4$:Làm tương tự $k=5$, ta có $f(4)=4f^3(1)$
Do đó khẳng định đúng với mọi $k$ mà $k< 10$
Với $k> 10$
Xét $k=2n+1$. Ta có $(2n+1)^3+5^3+(-1)^3=(2n-1)^3+(n+4)^3+(4-n)^3$
Suy ra $f^3(2n+1)+f^3(5)+f^3(1)=f^3(2n-1)+f^3(n+4)+f^3(4-n)$
Theo nx ban đầu, vì $k> 10$ nên ở đẳng thức bên trên ta thấy ngay các số $2n-1, n+4, 4-n, -5, -1$ đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn $2n+1$, nên theo giả thiết quy nạp thì $f(5)=5f^3(1), f(2n-1)=(2n-1)f^3(1), f(n+4)=(n+4)f^3(1), f(4-n)=(4-n)f^3(1)$
Suy ra $f(2n+1)=(2n+1)f^3(1)$
Với $k=2n+2$ ta cũng làm tương tự và có $f(2n+2)=(2n+2)f^3(1)$
Vậy khẳng định ban đầu đúng với mọi $k\in \mathbb{N}$
Từ $f(1)=f^3(1)$ ta có $f(1)=0$ hặoc $f(1)=1$ hoặc $f(1)=-1$
Suy ra $f(k)=0\forall k\in \mathbb{Z}$, $f(k)=k\forall k\in \mathbb{Z}$, $f(k)=-k\forall k\in \mathbb{Z}$
Thử lại thấy cả $3$ hàm thỏa mãn
Cách tìm ra 2 đẳng thức kia thì e làm như thế này:
Với $k=2n+1$:Ta tìm 1 đẳng thức mà $2k+1$ có GTTĐ lớn nhất và để khử $8k^3$, ta chọn $-(2k-1)^3$. Ta chọn tiếp $2$ biểu thức có chứa lượng $k$ như nhau, cụ thể là $(pk+q)^3$ và $(pk-q)^3$
Khi đó $(2k+1)^3-(2k-1)^3=(pk+q)^3+(pk-q)^3+c^3+d^3$
Suy ra $k^2(24-6p^2q)+(2-2q^3-c^3-d^3)=0$
Chọn các số thích hợp sao cho $p^2q=4, 2q^3+c^3+d^3=2$, với $p\leq 2$
Bằng cách thử, ta có $p=1, q=4$ nên $c^3+d^3=-126$, suy ra $c=-5, d=-1$
Cái còn lại tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 01-12-2013 - 11:23
